Лекция 7. Минимизация функции одной переменной без ограничений

1.1. Постановка задачи

Сформулируем постановку задачи: найти глобальные минимум и максимум функции , , при отсутствии ограничений.

Определение. Функция является строго выпуклой в окрестности точки , если для любых двух точек и , принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство

. (1)

Критерий строгой выпуклости (критерий Сильвестра): если функция дважды дифференцируема в точке и ) 0, то она является строго выпуклой в окрестности точки

Для задачи нелинейного программирования при отсутствии ограничений необходимыми условиями того, что - точка локального минимума, являются:

1. функция дифференцируема в точке ,

2) производная ) в точке равна 0, т.е. является критической (стационарной) точкой для .

Достаточное условие того, что - точка локального минимума кроме

приведенных условий 1) и 2) включает следующее:

3) ) 0.

Если - строго выпуклая функция в окрестности точки , то необходимым и достаточным условием ее локального минимума в точке является условие: ) = 0.

Достаточное условие того, что - точка локального макcимума кроме

приведенных условий 1) и 2) включает следующее:

4) ) 0.

Замечание 1.1. Если же кроме приведенных условий 1) и 2) имеем ) = 0, то необходим дальнейший анализ. Он состоит в следующем. Если - 0) 0, + 0) 0, то точка является минимумом для . Если - 0) 0, + 0) 0, то точка является максимумом для . Если - 0) и + 0) имеют один и тот же знак, то

точка является седловой точкой для и не является точкой экстремума для функции . При практическом применении - 0 понимается как - , а + 0 понимается как + , где - бесконечно малая величина.

Глобальный минимум функции определяется перебором всех

ее локальных минимумов. Глобальный максимум функции определяется перебором всех ее локальных максимумов.

Процедура аналитического решения, в частности, для функции в сводится к следующей последовательности шагов.

1. Проверяем дважды дифференцируемость функции в .

2. Если она дважды дифференцируема, то решаем относительно уравнение ) = 0. Точки, в которых выполняется это уравнение, являются стационарными.

3. В стационарных точках находим точки, в которых ) 0, это точки локальных минимумов.

4. В стационарных точках находим точки, в которых ) 0, это точки локальных максимумов.

5. В стационарных точках находим точки, в которых ) = 0. Для этих точек справедливо замечание 1.1.

1.2. Полином произвольной степени

Пусть функция ) является полиномом произвольной степени

) = . Тогда ) = = 0. Из этого уравнения находим его корней. Отбрасывая комплексные корни, получаем действительных корней . Беря вторую производную ) = в точках , получаем следующие варианты: 1) в тех точках из , где

) , имеем локальные минимумы функции ) и перебором определяем её глобальный минимум, 2) ) в тех точках из , где ) , имеем локальные максимумы функции ) и перебором определяем её глобальный максимум, 3) в тех точках из , где ) , экстремума нет.