Библиографические ссылки

1. Шаповалов В.К. Этнокультурная направленность российского образования. М., 1997.

2. Канзычакова А.К. Хакасия и Тыва в числах и задачах: сб. научн. трудов / Актуальные проблемы исследования этноэкологических и этнокультурных традиций народов Саяно-Алтая. Кызыл, 2012.

И.В. Воинова

Мордовский государственный педагогический институт

им. М. Е. Евсевьева,

г. Саранск

ivvoinova@mail.ru

ПРОБЛЕМА ФОРМИРОВАНИЯ ЧИСЛА

В УСЛОВИЯХ РАСШИРЕНИЯ МНОЖЕСТВА

НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

_______________________________________________________

В статье обозначены проблемы психологического характера, возникающие у обучаемых при изучении числовых множеств в рамках школьной математики. Автором предлагаются пути решения выявленных проблем, рассматриваются примеры моделей, используемых для формирования понятия числа и вычислительных навыков.

Ключевые слова: числовые множества, арифметические операции, свойства числовых множеств, вычислительные навыки.

Содержание курса математики начальной школы состоит из понятий, значительную часть которых составляет арифметика целого неотрицательного числа. В настоящее время существует достаточно много разнообразных методических концепций формирования понятия натурального числа, реализуемых в учебниках математики начальной школы. В одних учебниках авторы рассматривают натуральное число как мощность конечного множества (теоретико-множественная концепция), в других – за основу принимают процесс измерения величин, в большинстве случаях используется сочетание обеих концепций. Заметим, что в учебниках математики разных образовательных программ начального образования используются разнообразные модели, на базе которых формируется суть числа и отрабатываются вычислительные навыки.

В связи с этим в ходе профессиональной подготовки учителя начальных классов вопросам изучения арифметики натурального числа, а также расширения множества натуральных чисел уделяется много времени. Рассматриваются различные подходы к построению множества натуральных чисел, в основу которых положены его количественная и порядковая функции, запись числа, его состав, свойства и т.д. [1].

Однако в учебных пособиях для студентов педагогических вузов не говорится о возможных трудностях, которые могут испытывать их будущие ученики при работе с натуральными и положительными рациональными (долями) числами. В процессе развития числовых систем (от натуральных до действительных и далее – комплексных чисел) исторически возникали проблемы, решение которых влияло на дальнейший путь расширения той или иной числовой системы. Так, в Древнем Египте использовались так называемые аликвотные дроби , где n – натуральное число. Эти дроби рассматривались как самостоятельные числа, порожденные единицей. Исходя из такого определения дробного числа и используемого в то время правила умножения удвоением чисел, в том числе и целых, для выполнения операций с дробями составлялись таблицы разложения чисел на сумму разных аликвотных дробей. Конечно, такой способ определения числа и правил выполнения операций нельзя назвать простым. Что-то не позволило древним египтянам перейти к обыкновенным дробям , где m – целое, а n – натуральное число. Это – особенность их психологии мышления. Подобные проблемы, связанные с особенностью психологии мыслительной деятельности ребенка, возникают и в процессе преподавания.

В избранных лекциях «Диалектика математики» в разделе «Диалектика арифметики» А.В. Бритов выделяется две проблемы:

1. При переходе на следующий уровень в схеме (рис. 1) расширения числовых систем для большинства обучаемых (не формалистов) требуется модельное объяснение операций и их свойств.

Рис. 1.

2. В процессе расширения числовой системы происходит не только расширение свойств и возможностей решения уравнений:

а + х = b, ах = b, а^х = b, х^а = b (1),

но и потеря некоторых свойств, что может создать психологический барьер и дальнейшее неприятие «новых» чисел даже при использовании хорошей модели [2].

Кроме этого, А.В. Бритов отмечает, что естественная потребность обучаемых в расширении множества натуральных чисел связана с противоречием между формально допустимыми задачами уже на уровне множества N (например, невыполнимость в ряде случаев деления и вычитания, определение нуля и единицы через умножение: 1 а = а и 0 а = 0 и др.) и, как правило, их неразрешимостью на используемой модели числа как мощности конечного множества в дальнейшем при решении уравнений (1).

Рассмотрим некоторые противоречия, которые порождают первую проблему.

Во-первых, при отработке не только счета, но и вычислительных умений (например, увеличение и уменьшение на 1и 2) на множестве однозначных чисел используется понятия «последующее» и «предыдущее» число, т.е. используется свойство «соседства» каждого натурального числа. Это свойство очень «удобно», когда речь идет о сравнении натуральных чисел, однако оно утрачивается на множестве Q₊ положительных рациональных чисел, что у ряда детей при изучении долей вызывает неприятие к этим числам, которое усугубляется необходимостью запоминать новые правила сравнения и вычисления дробей.

Во-вторых, в ходе вычислений с натуральными числами очевидно, что произведение больше каждого сомножителя, чего нельзя сказать о положительных рациональных числах. Так, при умножении двух правильных дробей получаем произведение, меньше каждого сомножителя. Этот факт тоже будет вызывать недоумение у детей и противоречить приобретенным навыкам при работе с натуральными числами.

В-третьих, неопределенность вычитания и деления на множестве натуральных чисел (т. е. бессмысленность выражений 2 – 3, 2 : 3, 3 : 2 и т. д.) и выполнимость этих же операций на множестве Q рациональных чисел (I – иррациональных чисел, R – действительных чисел).

Поэтому для будущих учителей начальных классов при формировании арифметических понятий очень важно осознавать:

1. какие свойства натуральных чисел целесообразно культивировать у детей, а какие применимы только при работе с натуральными (целыми, рациональными и др.) числами;

2. необходимость выбора модели, целесообразной для отработки вычислительных навыков.

Иначе говоря, не стоит акцентировать внимание на тех свойствах, которые в дальнейшем утрачиваются и заменяются другими. В этом случае, чтобы не проиграть на качестве обучения, следует грамотно выбирать модели, которые используются для формирования вычислительных навыков.

Для выбора «удачной» модели рассмотрим схему (рис. 1). На этой схеме показаны пути расширения множества натуральных чисел. Применительно к начальной школе следует использовать переход NQ₊, а при подготовке будущих учителей необходимо демонстрировать все связи, а также общие свойства числовых множеств и свойства, присущие отдельному множеству.

Приведем пример ситуации, с которой столкнулась студентка на своем зачетном уроке математики по теме «Доли». Следует отметить высокую успеваемость и ответственность студентки. Ею было подготовлено достаточно красочного наглядного материала, и в качестве примера доли студентка привела (возможно, по ошибке) неправильную дробь. В классе нашлась девочка, которая задала вопрос «А как это может быть 8/7?» Но молодая учительница не ожидала такого вопроса и не смогла применить приготовленные ею наглядные пособия. А достаточно было расширить модельную ситуацию – взять не один, а два равных прямоугольника и каждый разделить на 7 частей, и тогда можно было бы взять и 8, и 9, и все 14 частей.

Следует отметить, что при работе с дробями используемую модель как деление реальных предметов на части целесообразно заменить отрезками, а по сути – векторами (но пока рассматривать их без направления). Это позволит не только снять психологические барьеры по отождествлению неправильных дробей с натуральным числом и правильной дробью, но и решить проблему преемственности обучения в средней школе.

Подобная ошибка возникла не потому, что сама студентка не знала, что такое неправильная дробь, а потому, что ее знания (хотя и прочные) носили формальный характер. Чтобы избежать таких ситуаций, в ходе подготовки будущих учителей следует демонстрировать различные вычислительные модели, раскрывающие природу числа, способ его образования, а их использование должно порождать потребность во введении «новых» чисел, а также возможность и желание работать с ними.

Приведем пример вычислительной модели для работы с дробными числами. При этом отметим, что для разъяснения идеи ее использования не стоит привлекать большие числа.

Для реализации сложения дробей как сложения векторов следует использовать две шкалы – неподвижную и подвижную. Например, чтобы найти сумму , следует «сложить» два отрезка (рис.2):

Рис. 2.

По схеме видно, что , а . Таким образом, сумма .

Основой модельного объяснения сути дробных чисел и правил выполнения арифметических операций является выделение части целого, а не разделение (разрезание или разбивание) на части.

В заключение добавим, что такая модель позволяет демонстрировать далеко неочевидные свойства рациональных чисел, а ее использование понятно даже младшим школьникам.