Розділ 3. Функції кількох змінних

Тема 3.1. Функція багатьох змінних та її границя.

Мета: дати поняття функції багатьох змінних та її основних характеристик. Дати означення границі та неперервності функції двох змінних.

План.

1. Функція багатьох змінних. Функції двох змінних. Область визначення, графік, лінії та поверхні рівня.

2. Границя функції. Неперервність функції двох змінних в точці й на області.

1. На попередніх лекціях ми розглянули найпростіші види функцій: функції від однієї змінної. Проте в багатьох випадках доводиться мати справу з функціями, залежними від двох і більше змінних. Наприклад, площа прямокутника обраховується за формулою S=ab, тут змінна S залежить від двох величин, незалежних між собою, a i b. Тобто можливе представлення S=f(a; b). Відповідно об’єм прямокутного паралелепіпеда, обраховується за формулою V=xyz, іншими словами ми маємо функцію V=f(x,y,z)- задана функція від трьох змінних.

Основні визначення для функції декількох змінних є узагальненням відповідних означень для функції однієї змінної.

Для простоти викладу зупинимось на функції двох змінних.

Якщо кожній парі значень x, y з множини D ставиться у відповідність одне конкретне значення z з множини E, то z називаємо функцією двох незалежних одне від одного змінних x i y і позначаємо z=f(x,y).

Множина D називається областю визначення функції z, а множина E- множиною значень даної функції. Змінні x i y називаються аргументами.

Якщо функція задається аналітично, то областю визначення z=f(x,y) називається множина значень (x;y) при яких f(x,y) має зміст.

В загальному випадку область визначення функції двох змінних геометрично може бути представлена деякою множиною точок на площині xOy.

Ставлячи у відповідність кожній точці (x;y)D деяку аплікату z=f(x;y) ми отримаємо деяку множину точок (x; y; z) трьохвимірного простору- найчастіше деяку поверхню. Тому рівняння z=f(x; y) часто називають рівнянням поверхні.

При кожному конкретному z=c ми отримаємо рівняння f(x; y)=c, яке в загальному випадку визначає деяку лінію. Цю лінію називають лінією рівня для числа с і функції f(x; y). Геометрично її можна уявити як лінію перетину площини z=c i f(x; y).

2. Розглянемо функцію двох змінних. Нехай задано деяку точку м0(х0, y0). -околом точки м0(х0, y0) називається множина точок м(х, y), координати яких задовільняють рівності .

Означення. Нехай функція z=f(x,y) визначена в околі точки М₀(х₀, y₀), крім можливо самої цієї точки. Число А називається границею функції z=f(x,y) при , якщо для будь-якого як завгодно малого >0 знайдеться таке число >0, що для всіх точок М(х, y) з -околу точки М₀(х₀, y₀) виконується нерівність . Позначаємо .

Всі теореми про границю функції однієї змінної переносяться на границю функції кількох змінних.

(Див. лекцію про границю функції однієї змінної).

Розглянемо приклад.

=

(зробимо заміну )

= .

Означення. Функція z=f(x,y) називається неперервною в точці М₀(х₀, y₀), якщо вона визначена в околі точки М₀(х₀, y₀) і в деякому околі цієї точки існує і

.

Введемо позначення . Тоді

. Назвемо цю величину повним приростом функції. М

М₀(х₀+x , y₀+y)

Позначимо  y

при – . М₀ x

З геометричної точки зору функція називається неперервною в точці М₀ , якщо в деякому околі цієї точки нескінченно малим приростам відповідає нескінченно малий приріст

Наприклад.

Функція має точки розриву при , тобто . Таким чином всі точки розриву функції лежать на лінії .

Функція називається неперервною на області, якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.