2. Аппроксимация функций

2.1. Основные сведения

Определение. Величина называется функцией переменной величины , если каждому из тех значений, которые может принимать , поставлено в соответствии по определенному закону одно или несколько значений . При этом переменная величина называется аргументом. Аргумент всегда переменная величина, функция, как правило, тоже.

Говорят также, величина зависит от . Сообразно с этим аргумент называют независимой переменной, функцию – зависимой переменной.

Если каждому значению аргумента соответствует одно значение функции, то функция называется однозначной, иначе, т.е. два или более, - то многозначной (двузначной, трехзначной и т.д.). Если особо не оговорено, что функция многозначная, подразумевается, что она однозначная.

Тот факт, что есть функция от , выражают в записи так

, (2.1)

где - - обозначен закон соответствия (функциональная зависимость) между и .

Известно три способа задания функциональной зависимости:

1. аналитический;

2. графический;

3. табличный.

Аналитический способ состоит в указании функции одной или несколькими математическими формулами.

Преимущества:

- возможность получения значения для любого фиксированного аргумента с любой точностью и с наименьшими затратами по времени (так как этот способ прямо указывает действия и последовательность их выполнения над независимой переменной для получения соответствующего значения величины ).

Недостатки:

- на практике часто неизвестна аналитическая формула;

- в некоторых случаях, если известна, то настолько громоздка (содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.п.), что ее использование в практических расчетах затруднительно;

- не наглядность с точки зрения поведения функциональной зависимости.

Графический способ состоит в проведении линии (графика) в декартовой системе координат, у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции.

Преимущества:

- легкость обозрения картинки в целом;

- непрерывность изменения аргумента.

Недостатки:

- ограниченная степень точности, что приводит к утомительности прочитывания значений функции с максимально возможной точностью.

Табличный способ заключается в том, что для избранных значений аргумента указываются соответствующие значения с определенной степенью точности.

Преимущества:

- он сразу дает числовые значения функции для табличного значения аргумента.

Недостатки:

- таблица трудно обозрима в целом;

- она часто не содержит всех необходимых значений аргумента, а для получения этих значений могут потребоваться либо очень сложные расчеты либо проведение дорогостоящих экспериментов.

Определение. Задача аппроксимации функции в вычислительной математике позволяет приближенно вычислить значение функции при любом значении аргумента (из некоторой области) с наименьшими затратами времени и средств, если функция задана таблично, т.е. когда аналитическая функциональная зависимость неизвестна либо очень громоздка. И сводится к замене (аппроксимации) данной функций приближенной функцией так, чтобы отклонение (в некотором смысле) от в заданной области было наименьшим. Функция при этом называется аппроксимирующей. На практике в качестве чаще всего рассматривают многочлен

(2.2)

Т.о. задача аппроксимации функции сводится к подбору коэффициентов , , чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от функции . Что касается самого понятия «малое отклонение», то оно уточняется при рассмотрении конкретных способов аппроксимации.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек , то аппроксимация называется точечной. К ней относятся, например, интерполирование, среднеквадратичное приближение. При построении приближения на непрерывном множестве точек, например, не отрезке , аппроксимация называется непрерывной (или интегральной).