4.Приближенное решение уравнений методом итераций
Мы рассмотрели
методы численного решения уравнения
вида
.
Преобразуем его (с сохранением
равносильности) к виду
,
где
- дифференцируемая функция и
при
,
где
- промежуток, на котором уравнение
имеет один корень; построим такой
итерационный процесс:
- произвольное число из отрезка
,
,
;…
и вообще,
.
Докажем, что последовательность
сходится к корню уравнения
при любом выборе
;
кроме того, если
- точное значение корня (
)
и
- заданная степень точности, тогда
процесс завершается, если
;
при этом
.
Последовательность , построенная по формуле
для численного решения уравнения
на отрезке
(
- отрезок уединения корня), сходится к
корню уравнения
независимо от выбора начального
приближения
,
если
при
.
пусть - значение корня уравнения , то есть
;
покажем, что
стремится к нулю при
.
Рассмотрим
;
функция
дифференцируема на отрезке
,
а, значит, и на отрезке
;
применим теорему Лагранжа:
.
На отрезке
;
также применим теорему Лагранжа и
продолжим процесс:
;
итак,
.
Поскольку
,
то
;
поэтому, независимо от величины
,
выполняется равенство
,
значит,
.
Решим методом итераций уравнение на отрезке с точностью до 0,01.
преобразуем данное уравнение к виду
;
тогда
;
;
при
;
уточним промежуток уединения корня:
,
тогда
.
Выберем
;
;
;
;
итак,
,
значит,
;
.
.
чем ближе
к нулю, тем быстрее сходится итерационный
процесс.
Упражнения к главе 6
Найти критические точки для функций:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Функция
на концах отрезка
принимает равные значения:
.
Справедлива ли для этой функции теорема
Ролля на отрезке
?Функция
обращается в нуль при
и
,
но тем не менее
при
.
Объясните кажущееся противоречие с
теоремой Ролля.Пусть
.
Покажите, что уравнение
имеет три действительных корня.Для отрезка параболы
,
заключенного между точками
и
,
найдите точку, касательная в которой
параллельна хорде
.Проверьте выполнение условий теоремы Лагранжа и найдите соответственную точку для функции
на отрезке
.Можно ли применить теорему Лагранжа к функции
на отрезке
?Найдите значение для следующих функций и отрезков:
;
;
;
;
;
;
;
.
Докажите, что для функции
и любого отрезка
выполнима теорема Лагранжа и для
соответствующего
выполняется равенство
.Найдите промежутки, на которых функция возрастает:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Найдите промежутки, на которых функция убывает:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Найдите точки экстремума функций .
;
;
;
;
;
.
Найдите экстремумы функций :
;
;
;
;
;
.
Исследуйте на монотонность и экстремумы следующие функции:
;
;
;
.
Исследуйте направление выпуклости графиков функций:
;
;
;
;
;
.
Найдите точки перегиба для функций, указанных в упражнении 6.15.
Исследуйте функции и постройте их графики:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке:
; ;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Из всех прямоугольников, вписанных в круг радиуса
,
найдите тот, площадь которого наибольшая.Докажите, что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.
Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.
Данное положительное число разложите на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
Число 48 записано в виде суммы трех положительных слагаемых. Два слагаемых равны между собой. Найдите слагаемые, если известно, что их произведение наибольшее.
Для перевозки овощей необходимо изготовить ящики без крышек в форме прямоугольного параллелепипеда. Объем каждого ящика
,
высота
.
Какими должны быть размеры основания
ящика, чтобы на его изготовление
потребовалось наименьшее количество
материала?«Задача о консервной банке»: Какими должны быть размеры цилиндрической консервной банки, чтобы: а) при заданном объеме
она имела наименьшую площадь
поверхности?
б) при заданной площади
поверхности она имела наибольшую
вместимость?Буровая вышка расположена в поле в
от ближайшей точки шоссе. С буровой
надо направить курьера в населенный
пункт, расположенный по шоссе в
от упомянутой точки на шоссе (считаем
шоссе прямой линией). Если курьер на
велосипеде проезжает по полю
,
а по шоссе
,
то к какой точке шоссе ему надо ехать,
чтобы в кратчайшее время доехать до
населенного пункта?П
отенциальная
энергия растянутой пружины выражается
формулой
,
где
– постоянная, называемая жесткостью
пружины, а
- удлинение пружины. Две пружины
расположены на прямой линии так, как
показано на рисунке 61, где
.
Пружины растянули и соединили в точке
.
При каком расположении этой точки
суммарная потенциальная энергия пружин
будет наименьшей, если жёсткости этих
пружин равны
и
?Если батарея с электродвижущей силой
и внутренним сопротивлением
замкнута проводником с сопротивлением
,
то мощность
тока во внешней цепи выражается формулой:
.При
каком значении
мощность будет наибольшей?Сила действия кругового электрического тока на небольшой магнит, ось которого направлена перпендикулярно плоскости круга и проходит через его центр, выражается формулой:
,
где
- радиус круга,
- расстояние от центра круга до магнита
и
- постоянная. При каком значении
эта сила будет наибольшей?Потенциал в точке электрического поля, образованного зарядом
,
равен
,
где
- расстояние от точки
до заряда. В точках
и
,
удаленных друг от друга на
,
помещены заряды
и
одинакового знака. В какой точке отрезка
потенциал суммарного электрического
поля будет наименьшим?Докажите, что при и
выполняется:
.Докажите, что при
справедливы неравенства:
;
.
Докажите, что при
и
:
;
;
при
;
;
при
.
Докажите, что если
и
,
то
.Докажите, что если
и
,
то
.Запишите разложения биномов:
;
;
;
;
;
.
Сколько членов содержится в разложениях биномов:
;
;
?
Найдите , если известно, что в разложении
коэффициенты при
и
равны.Найдите коэффициент при
в разложении бинома
,
если
.Вычислите суммы: 1)
;
2) 
;
3) 
.Докажите,что
.Каков наибольший коэффициент разложения , если сумма всех коэффициентов равна 4096?
Если раскрыть все скобки в выражении
и привести подобные члены, то получится
некоторый многочлен. Найдите коэффициент
при
в этом многочлене, не раскрывая скобки.Используя тождество (10) п. 70, докажите, что
.Найдите наибольшее значение суммы
при
.Найдите сумму коэффициентов разложения
.В разложении
сумма биномиальных коэффициентов,
стоящих на четных местах, равна 32.
Найдите член, содержащий
.Решите уравнения:
;
.
Решите неравенства:
;
;
;
.
Получите разложение по формуле Маклорена для функций:
;
;
.
Тяжёлая нить (провод, канат, цепь) под влиянием собственного веса провисает по цепной линии, уравнение которой имеет вид:
,
где
,
- горизонтальное натяжение нити,
- вес единицы длины. Докажите, что если
мало по сравнению с
,
то
,
то есть нить приближенно провисает по
параболе.Используя формулу (7.1), (п. 72) вычислите с точностью до 0,0001 квадратные корни:
;
;
.
Докажите, что для извлечения корня
-ой
степени из положительного числа
применима формула:
.С помощью формулы , полученной в упражнении 6.53., вычислите с точностью до 0,0001 значения корней:
;
;
;
.
Найдите с точностью до 0,01 корни уравнений:
|
|
|
|
;
;
;
.(для уточнения промежутков уединения корней сделайте эскиз графика функции, стоящей в левой части уравнения).