5.Производные и доказательства неравенств
Если
и
непрерывна при
,
а
при
,
то
положительна при
.
из условия следует, что функция возрастает при
;
поэтому из условия
следует, что
,
но
,
значит,
при
.
Если и при , то при .
С помощью этих теорем можно доказывать различные неравенства.
Докажем, что при
и
выполняется:
неравенство (обобщение неравенства
Бернулли).
рассмотрим функцию
;
;
;
при
и
имеем:
,
поэтому
и функция
– возрастает при
,
тогда из неравенства
следует
,
то есть
,
значит,
;
таким образом,
при
и
.
Докажем, что при
выполняется неравенство
.
рассмотрим функцию
,
;
при
.
Поэтому функция
убывает и из неравенства
следует
,
то есть
;
значит,
при
.
Для доказательства
неравенств можно использовать не только
первую производную, но и вторую. В
примечании к п. 63 мы говорили о том, что
если график функции является выпуклым
вниз на отрезке
,
то он располагается ниже хорды, соединяющей
концы дуги:
,
.
Выберем на отрезке
произвольную точку
и найдем ординату соответствующей точки
хорды. Запишем уравнение прямой,
проходящей через точки
и
:
,
тогда при
получаем:
.
Поэтому неравенство
имеет вид:
. (1)
Если положить
,
то получим:
,
.
Тогда
неравенство (1) можно записать так:
,
где
.
(2)
В частности, при
имеем:
.
(3)
Таким образом, справедлива
Если на отрезке выполняется условие
,
то для любого числа
имеем
.
Аналогично
доказывается, что если на
выполняется условие
,
то
. (4)
Докажем неравенство
.
рассмотрим функцию ;
.
Можем воспользоваться неравенством
(3):
,
что и требовалось доказать.
Докажите, что если
и
,
то
.
рассмотрим функцию
при
;.
при
,
значит, можно воспользоваться неравенством
(4) при
:
,
что и требовалось доказать.
§16.Производные и численные методы
1.Бином Ньютона и свойства биномиальных коэффициентов
Используя производные высших порядков, можно получить еще один способ доказательства известной формулы, которую называют биномом Ньютона.
Рассмотрим
,
(1)
где
– неизвестные коэффициенты. Для того,
чтобы найти
,
подставим в (1)
;
получим
.
Чтобы найти
,
продифференцируем (1), получим:
(2);
пусть
,
тогда
.
Найдем
,
для этого продифференцируем (2):
(3);
пусть
,
тогда
.
Остальные коэффициенты находим таким
же образом. Если продифференцировать
(1)
раз, то получим:
.
Пусть
,
тогда
.
Числа
называют биномиальными коэффициентами
и обозначают
.
Таким образом,
,
поэтому, используя метод математической
индукции, получим
.
(4)
Формулу (4)
называют формулой бином Ньютона. Упростим
формулу для
.
Итак,
.
(5)
Условимся
считать, что
,
тогда
и формулу (4) можно записать так:
.
(6)
Рассмотрим некоторые свойства биноминальных коэффициентов.
Положим в
равенстве (6)
,
получим:
.
(7)
Итак, сумма
биномиальных коэффициентов при заданном
равна
.
Положим
,
,
получим
.
(8)
Отсюда следует, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах.
Из формулы (5)
получим:
.
(9)
Таким образом, биномиальные коэффициенты, равноудалённые от концов разложения, равны друг другу.
Рассмотрим
.
Итак,
.
(10)
Э
1
1 1
1 2 1
1
3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6
1
………………….
.
Вычисления удобно располагать в виде
треугольника, где каждый элемент равен
сумме элементов предыдущей строки,
стоящих слева и справа от вычисляемого.
Его называют арифметическим треугольником или треугольником Паскаля.
Найдем разложение бинома
.
воспользуемся формулой (4) при
:
.
Найдем разложение бинома
.
воспользуемся формулой (4) при
:
.
Вычислим сумму
.
Рассмотрим функцию
и её разложение по степеням
:
.
Продифференцируем это равенство по
:
и положим
,
тогда получим
.
Итак,
.
.
Вычислим
с точностью до
.
по формуле бинома Ньютона имеем:
.
Но
,
а следующие слагаемые еще меньше.
Поэтому все слагаемые, начиная с
третьего, можно отбросить. Получаем:
.
.