§15.Исследование функций и построение графиков

1.Общая схема исследования функций

Способ построения графика функции по точкам очень несовершенен: даже вычисление большого числа ординат может не дать верного представления о графике функции и о ходе изменения функции.

Если предварительно исследовать функцию на монотонность и экстремумы, найти точки перегиба графика, учесть элементарные свойства функции, то мы получим более надежную информацию о ходе изменения функции и её графика.

Итак, общая схема исследования функции:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать элементарные свойства функции: четность, периодичность.

3. Найти точки пересечения с осями и интервалы знакопостоянства функции.

4. Исследовать функцию на непрерывность и классифицировать точки разрыва, если они есть.

5. Найти асимптоты графика, если они есть.

6. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

7. Исследовать направление выпуклости графика и точки перегиба.

8. Указать множество значений функции.

9. Построить схематически график функции.

2.Примеры построения графиков функций

102. Исследовать функцию и построить ее график.

1. .

2. , значит, – нечетная функция, и её график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осью : при ; ; .

4. П ромежутки знакопостоянства функции: при , при .

5. Функция непрерывна при всех .

6. ; при и .

В соответствии с достаточными условиями функция возрастает при и при , и убывает при ;

– точка максимума, ;

– точка минимума, .

7. ; при ;

при график функции направлен выпуклостью вверх;

при график функции направлен выпуклостью вниз;

.

8. .

9. П остроим график функции (смотри рисунок 54).

6. информацию, полученную в ходе исследования, удобно поместить в таблицу:

								1
	–	0	+	2	+	0	–	-2	–	0	+
	+	6	+	0	–	-3	–	0	+	6	+
	–	–	–	–	–	0	+	+	+	+	+
Выво­ды	отрицате­льна возрастает выпукла вверх	пере­секает ось абс­цисс	положи­те­льна возрастает выпукла вверх	макси­мум	положи­тельна убывает выпукла вверх	точка пере­гиба	отрица­тельна убывает выпукла вниз	мини­мум	отрица­тельна возрастает выпукла вниз	пере­се­кает ось абс­цисс	положи­те­ль­на возрастает выпукла вниз

Используя условные обозначения, выводы можно записать так:

Выво­ды

Пере­гиб

102. Исследовать функцию и построить её график.

1. .

2. , значит, – четная функция и её график симметричен относительно оси .

3. .

4. И нтервалы знакопостоянства найдем, используя метод интервалов:

при и при ;

при .

5. Функция непрерывна при ; точки и - точки разрыва II рода, не существует, не существует.

Прямые и – вертикальные асимптоты графика функции.

Найдем горизонтальную асимптоту: ; итак, прямая – горизонтальная асимптота.

6. ; при .

возрастает при и при ;

убывает при и при .

– точка максимума, .

7. .

график функции направлен выпуклостью вниз при и при ;

график функции направлен выпуклостью вверх при .

8. .

9. П остроим график функции , (смотри рисунок 55).