§14.Исследование графиков функций на выпуклость

1.Направление выпуклости графика функции

Р ассмотрим графики функций, изображенных на рисунках 48 и 49:

88. Если график функции , заданной на отрезке , расположен выше любой касательной, проведенной к нему на этом отрезке, и имеет с касательной лишь одну общую точку, то говорят, что график функции обращен на отрезке выпуклостью вниз (смотри рисунок 48).

89. Если график функции , заданной на отрезке , расположен ниже любой касательной, проведенной к нему на этом отрезке, и имеет с касательной лишь одну общую точку, то говорят, что график функции обращен на отрезке выпуклостью вверх (смотри рисунок 49).

Сформулируем достаточное условие сохранения направления выпуклости графика функции .

36. Пусть на отрезке функция непрерывна и для всех (соответственно ), тогда график функции обращен на этом отрезке выпуклостью вниз, (соответственно - вверх) (смотри рисунок 50).

6. рассмотрим случай, когда при всех . Выберем произвольную точку и проведем касательную к графику в точке . Уравнение касательной имеет вид: .

Докажем, что при любом из , отличном от выполняется неравенство , то есть .

Пусть (случай рассматривается аналогично). Применим к отрезку теорему Лагранжа: , где , тогда .

Вторично применим теорему Лагранжа для функции на отрезке , получим , где . Но , , , значит, , что и требовалось доказать.

Д оказательство теоремы для случая аналогично.

102. Исследуем направление выпуклости графика функции .

9. ; при всех и лишь при , значит, график функции обращен выпуклостью вниз при всех .

102. Найдем участки, на которых график функции обращен выпуклостью вверх.

10. для того чтобы график функции был направлен выпуклостью вверх, достаточно чтобы . Найдем ; при , значит, при график функции обращен выпуклостью вверх.

4. и сследование направления выпуклости графика функции на отрезке можно связать не с касательной к графику функции на интервале , а с хордой, соединяющей концы дуги: , (смотри рисунок 51), построив соответствующие определения. При этом теорема 42 остается в силе и доказывается также с помощью теоремы Лагранжа.

2.Точки перегиба

Обычно кривая расположена около точки касания по одну и ту же сторону от касательной. Но может случиться, что в точке касания кривая переходит с одной стороны касательной на другую (рисунок 52). Такие точки называют точками перегиба.

88. Т очка кривой называется точкой перегиба, если в этой точке кривая переходит с одной стороны касательной, проведенной к кривой в точке , на ее другую сторону.

Отметим, что в точке поменялось направление выпуклости графика функции .

Примеры точек перегиба мы уже видели на рисунке 45; действительно, точка – точка перегиба для графика функции ; аналогично точка – точка перегиба графика функции .

36. Если в точке вторая производная функции непрерывна и отлична от нуля, то точка не является точкой перегиба для графика функции .

7. пусть , то в силу непрерывности функции в точке неравенство выполняется в некоторой окрестности точки , тогда в силу теоремы 42 график функции обращен выпуклостью вниз. Поэтому вблизи точки этот график лежит выше касательной, проведенной в точке , и не имеет перегиба в этой точке.

Случай рассматривается аналогично.

Следствие 1 (второе достаточное условие экстремума). Если функция имеет вторую производную и в точке выполнены условия: и , то в этой точке функция имеет экстремум, а именно: максимум, если , и минимум, если .

Следствие 2 (необходимое условие перегиба). Для того, чтобы график функции имел перегиб в точке , необходимо, чтобы либо , либо – не существовала при .

Вернемся к примеру 111: для функции вторая производная обращается в нуль при и ; значит, точки и могут быть точками перегиба графика этой функции.

5. Р ассмотренное необходимое условие не является достаточным; действительно, для функции вторая производная обращается в нуль при , но график функции не имеет точек перегиба (смотри рисунок 53).

36. (достаточное условие перегиба). Если или – не существует, а при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка является точкой перегиба для графика функции .

8. пусть (для определенности) слева от , а справа от . Тогда слева от график функции направлен выпуклостью вверх и лежит ниже касательной, а справа от график направлен выпуклостью вниз и лежит выше касательной; значит, в точке кривая переходит с одной стороны касательной на другую, то есть – является точкой перегиба, что и требовалось доказать.

Е ще раз вернемся к примеру 111: докажем, что точки и являются точками перегиба графика функции . Для этого применим метод интервалов для выяснения промежутков знакопостоянства .

Мы видим, что при переходе через вторая производная меняет знак, значит в силу достаточного условия, – точка перегиба.

Аналогично для .