3.Достаточные условия монотонности и экстремума
Наглядное
представление о связи между монотонностью
функции на отрезке и знаком ее производной
на этом отрезке дают следующие примеры:
пусть точка движется по оси и ее координата
в момент времени
равна
.
Если в течение некоторого промежутка
времени
скорость точки положительна, то координата
возрастает. Поскольку скорость является
производной от координаты по времени,
то есть равна
,
то приходим к выводу, что при положительной
производной на отрезке
функция
возрастает. Такой же вывод получаем из
геометрических соображений: если
производная положительна во всех точках
отрезка
,
то касательная образует острый угол с
положительным направлением оси
и функция
возрастает на отрезке
.
Строгое доказательство утверждения о зависимости монотонности функции от знака ее первой производной основано на теореме Лагранжа.
(достаточное условие монотонности функции). Если функция непрерывна на отрезке и ее производная положительна (отрицательна) во всех внутренних точках этого отрезка, то функция возрастает (убывает) на отрезке .
пусть
для всех
.
Рассмотрим произвольные
и
такие, что
;
запишем для отрезка
теорему Лагранжа (формулу конечных
приращений):
;
так как
и
.
Значит,
и функция
– возрастает на
.
Случай, когда
при
,
рассматривается аналогично.
Найдем промежутки монотонности для функции
.
заметим, что функция определена при всех . Найдем ее производную и промежутки, на которых она сохраняет знак:
.
В
оспользуемся
методом интервалов:
при
и при
;
при
и при
.
функция возрастает при и при ;
функция убывает при и при .
Если функция непрерывна в точке
и ее производная в левой окрестности
точки
положительна, а в правой окрестности
точки
отрицательна, то
– точка максимума для функции
.
из условия следует, что при
,
значит,
– возрастает на
,
то есть
;
аналогично для
,
значит,
– убывает на
,
то есть
.
Таким образом, для всех
выполняется неравенство
,
значит,
– точка максимума функции.
Если функция непрерывна в точке и ее производная в левой окрестности точки отрицательная, а в правой окрестности точки положительна, то – точка минимума функции.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 40.
Теоремы 40 и 41 содержат первое достаточное условие экстремума.
Найти точки экстремума функции
.
ф
ункция
определена при всех
,
отличных от нуля; найдем критические
точки:
;
при
и
.
Перемену знака
исследуем методом интервалов:
Итак, слева от
точки
,
а справа –
,
значит,
– точка минимума. Аналогично
– точка минимума.
;
.
Найти экстремумы функции
.
ф
ункция
определена при всех
.
Найдем критические точки:
при
;
;
.
Перемену знака
исследуем методом интервалов:
для – перемена знака с «–» на «+», значит, – точка минимума; аналогично – точка минимума; для – перемена знака с «+» на «–», значит, – точка максимума.
Найдем значения
функции в указанных точках:
;
;
.
;
.