3.2.1. Графическое оценивание параметра экспоненциального распределения.

По формуле (3.3) находим значения функции распределения F(x) и наносим на вероятностную сетку (рис3.1) точки с координатами [xi;100*F(xi)]. Далее оценивается возможность проведения через эти точки прямой, что характеризует принадлежность данной выборки к экспоненциальному распределению. Обычно рекомендуется проводить "на глаз" прямую, наименее уклоняющуюся от точек эмпирической функции распределения, и таким образом, чтобы над прямой и под ней оказалось примерно одинаковое количество точек. Во многих случаях существующую здесь неоднозначность можно уменьшить, соблюдая дополнительное условие: лучшей считается прямая, накрывающая большее число точек. экспоненциального распределения

ПРИМЕР 3.2. Найти параметры экспоненциального распределения.

Исходные данные:

Упорядоченная статистическая совокупность:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 15.

Решение,

Наносим на вероятностную сетку (см. рис.4.1) точки с координатами [1;11,7], [2;23,5], [3;35,3], [4;47,1], [6;58,8], [8;70,6], [11;82,4], [15;94,1] и проводим через них прямую. Абсцисса точки с ординатой 63,8 соответствует величине 9,2, тогда параметр:

Рис3.1.Графическое оценивание параметра экспоненциального распределения.

3.2.2. Графическое оценивание параметров распределения Вейбулла

Оценивание параметров распределения Вейбулла можно находить по вероятностной сетке (рис 3.2.), используя зависимость:

ln(t)=ln{-ln[1-F(t)]}; y=ln(t),

где (t)-накопленная интенсивность отказов.

Вычисление накопленной частоты отказов производят в следующей последовательности:

- наработки до отказа и до цензурирования выстраиваются в вариационный ряд;

- для каждого значения t_i вычисляются соответствующие значения оценки накопленной интенсивности отказов:

_i=_i-1+1/R_i; ₀=0.

где R_i - инверсионный номер изделия, то есть ранг, отсчитанный с конца вариационного ряда.

Если точки с координатами [ln_i;lnt_i] на вероятностной сетке удовлетворительно апроксимируются прямой, то переходят к оценке точечных значений параметров a и b.

Пересечение полученной прямой с линией, проведенной параллельно оси абсцисс из точки с ординатой y=0, дает точку, абсцисса которой характеризует точечную оценку параметра а.

Точка пересечения прямой, проведенной из специальной точки А параллельно построенной прямой, со шкалой b дает искомую оценку параметра b.

Оценка параметра а равна абсциссе точки пересечения построенной прямой и линией, проведенной из точки с ординатой F(x)=0,623 или у=0.

ПРИМЕР 3.3. Выполнить графическое оценивание параметров распределения Вейбулла, имея следующую исходную выборку наработок до отказа (сут.) вкладышей универсального шпинделя:

54, 32, 96, 75, 60, 38, 42, 79, 55, 63

.

Решение:

Для нахождения оценок параметров распределения воспользуемся вероятностной сеткой (см. рис 3.2).

На вероятностной сетке справа на оси ординат отложена шкала логарифмов накопленной частоты отказов.

Вычисления накопленной частоты сведем в таблицу.

I	Ri	ti	1/ Ri	i	ln i
1	10	32	0.1	0.1	-2.3
2	9	38	0.11	0.21	-1.56
3	8	42	0.125	0.335	-1.09
4	7	54	0.143	0.478	-0.74
5	6	55	0.167	0.645	-0.44
6	5	60	0.2	0.845	-0.17
7	4	63	0.25	1.095	0.09
8	3	75	0.333	1.425	0.36
9	2	79	0.5	1.928	0.66
10	1	96	1.0	2.925	1.07

Наносим на вероятностную сетку точки с координатами [x=t_i;y=ln_i] и проводим через них прямую.

Пересечение прямой с линией, проведенной параллельно оси абсцисс из точки с ординатой у=0, дает оценку параметра а:

а=65.

Из точки А проводим луч параллельно построенной прямой до пересечения со шкалой b. Точка пересечения дает оценку параметра b=3,2.

ПРИМЕР 3.4. Исходные данные. Имеется упорядоченная статистическая совокупность:

2,1; 2,8; 3,4; 4,1; 4,5; 5; 5,5; 6,6; 8.

Решение,

Находим ординаты точек, абсциссы которых соответствуют величинам, представленным в исходной выборке, по формуле: 

F(x_i)=(i-)/(N--+1),

где =0.52 ((b-1)/b) =0.5-0.2((b-1)/b) ;

Предварительное ориентировочное значение параметра b найдем из табл.2 прил. по коэффициенту вариации

b=2,6;

тогда:

На вероятностную сетку (рис 3.3.) наносим точки с координатами [2,1;7,3],[2,8;18,1], [3,4;28,8], [4,1;39,6], [4,5;50,3], [5;61,0], [5,5;71,8], [6,6;82,6], [8;93,3]. Проводим через эти точки прямую по методике, описанной в предыдущем примере.

Из специальной точки "А", указанной на вероятностной сетке, проводим луч, параллельно построенной прямой. Точка пересечения луча со шкалой "b" дает значение параметра b=2.6. Значение абсциссы точки на прямой с ординатой 63,8 дает значение параметра а=5.2.