2.2. Обработка статистической информации о надёжности исследуемого объекта
2.2.1.Упорядочение исходной выборки наработок до отказа
Первое, что необходимо иметь - это документ, в котором зарегистрированы моменты отказов оборудования. Виды таких документов рассмотрены в первой главе пособия.
Такой документ будем называть первичной статистической совокупностью. Рассмотрение и осмысление такого документа затруднительно с целью представить себе характер распределения.
Первый шаг к осмыслению материала - это его упорядочение, расположение в порядке возрастания значений наработок. Полученный ряд будем называть упорядоченной статистической совокупностью. По упорядоченной статистической совокупности уже можно построить статистическую функцию распределения.
Характерной особенностью работ при проведении испытаний на надежность в процессе эксплуатации изделий является повышенная опасность грубых ошибок. Для статистической информации о надежности сравнительна высока вероятность попадания в выборку аномальных реализаций либо как результат ошибки, например в фиксации момента отказа, либо как результат ошибки при классификации отказов.
Выявление таких аномальных реализаций, то есть проверка принадлежности необычайно малой или большой наработки к исходной выборке может быть осуществлена с помощью F- распределения для заданного уровня значимости и фактического числа наработок (табл.1 прил.).
Если выполняется равенство
(2.1)
,то наработка необычно малая и не должна приниматься во внимание.
Если выполняется равенство
(2.2)
,то наработка необычно большая и ее следует отбросить,
где r - число наработок до отказа;
tmin - минимальное значение наработки;
tmax - максимальное значение наработки.
Процентили F-распределения находятся из табл. 1 прил
.
ПРИМЕР2.1.
Для шпильки уравновешивающего устройства получены наработки до отказа в сутках: 124,88,54,152,42,32,3,38,7,28.
Установить наличие необычно малой и необычно большой наработок.
Решение.
Произведем упорядочение статистической совокупности:
3,7,28,32,38,42,54,88,124,152.
В соответствии с формулой (3.1) находим:
Из
табл. 1 прил. для
Следовательно, наработка до отказа t1= 3 сут. является необычно малой и ее необходимо исключить из выборки.
По формуле (3,2) находим:
По табл. 1 прил. для
Вывод
- наработка
сут.
не является необычно большой и ее нельзя
исключать из выборки.
2.2.2. Проверка статистических гипотез Проверка статистической гипотезы о соответствии экспоненциальному распределению
Для проверки статистической гипотезы наиболее мощным является критерий Бартлетта:
;
(2.3)
где
- оценка средней наработки до отказа;
r- число наработок до отказа;
t i- значение i-той наработки.
Если выполняется условие:
;
где 2 для заданного уровня значимости , числа
отказов r находится из табл. 5 прил.,
то гипотеза о принадлежности выборки к экспоненциальному распределению не отвергается.
Проверку
можно осуществлять и с помощью критерия
Пирсона:
;
(2.4.)
где
-
теоретическая частота,
- число интервалов
Условием того, что гипотеза о принадлежности статистического распределения к экспоненциальному не отвергается, является неравенство:
Значения 2;k-2 приведены в табл. 5 прил.
ПРИМЕР 2.2
При проведении исследования надежности карданного вала формирующего ролика моталки были получены следующие значения наработок в сутках: 1,4,26,5,15,5,8,3,12,5.
Проверить гипотезу о принадлежности выборки к экспоненциальному распределению.
а) Проверяем гипотезу по критерию согласия Бартлетта (2.3).
1.Все вычисления сведём в таблицу:
N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
T |
lnti |
ti |
1 |
3 |
4 |
5 |
5 |
5 |
8 |
12 |
15 |
26 |
8.4 |
--- |
lnti |
0 |
1.1 |
1.39 |
1.61 |
1.61 |
1.61 |
2.07 |
2.48 |
2.71 |
3.25 |
---- |
17.83 |
2.Определяем значение критерия Бартлетта:
для уровня значимости = 0,1 из табл. 5 прил.
20.05;9=3.33, 20.95;9=16.9
3.3<Br=5.9<16.9
Следовательно, гипотеза о принадлежности выборки к экспоненциальному распределению не отвергается.
б). Проверяем гипотезу по критерию Пирсона.
Все вычисления сводим в таблицу.
K |
1-6 |
6-11 |
11-16 |
16-21 |
21-26 |
|
ni |
6 |
1 |
2 |
--- |
1 |
|
|
0.6 |
0.1 |
0.2 |
0 |
0.1 |
|
(Pi-Pi)2 Pi |
0.8 |
0.05 |
0 |
0.2 |
0.05 |
1.1 |
Число интервалов - K = 5 lg N = 5 lg 10 = 5.
Протяженность
интервалов -
сут.
Теоретическая
частота -
Для =0,1 и к-2 =5 - 2=3 по табл. 5 прил. Находим - 20,9;3 =6,25.
Так как соблюдается неравенство
c2=1,1< 20,9;3 =6,25
,то гипотеза о принадлежности выборки к генеральной совокупности, описываемой экспоненциальным распределением, не отвергается.