Решение

1. Задаёмся положительными направлениями токов в ветвях цепи.

2 . Полагаем, что в цепи действует только ЭДС E₁ (рис. 1.51) и определяем токи в ветвях:

I₅=I₁= = =1 A.

Ток I₂ определим по формуле распределения тока в параллельные ветви

I ₂ = I₁ = 1 = 0,667 A.

Ток I₃ определим по I закону Кирхгофа

I₄ = I₃ = I₁ – I₂ = 1 – 0,667 = 0,333 A.

3. Теперь будем считать, что в цепи действует только источник тока J (рис. 1.52) и определим токи от действия этого источника.

Для определения токов в схеме рис. 1.52 преобразуем треугольник сопротивлений r₂-r₃-r₄ в эквивалентную звезду. Учтём, что сопротивления треугольника равны:

r ₂₃ = r₂₄ = r₃₄ = = = 2 Ом.

В результате преобразования получим эквивалентную схему рис. 1.53, откуда определим токи I₁ и I₅:

I₁ = J = 1 = 0,5 А,

I₅ = J – I₁ = 1 – 0,5 = 0,5 A.

Из схемы рис. 1.52 с использованием II закона Кирхгофа для контура r₁-r₂-r₅ определим ток I₂:

r₁I₁ + r₂I₂ – r₅I₅ = 0, откуда I₂ = = 0.

По I закону Кирхгофа определим оставшиеся токи:

I₄ = I₂ + I₅ = 0,5 A, I₃ = I₁ – I₂ = 0,5 A.

4) По принципу наложения определим полные токи в ветвях

I ₁ = I₁ + I₁ = 1 + 0,5 = 1,5 A, I₂ = -I₂ – I₂ = 0,667 A,

I₃ = I₃ + I₃ = 0,333 + 0,5 = 0,833 A,

I₄ = I₄ – I₄ = 0,333 – 0,5 = -0,167 A,

I₅ = I₅ – I₅ = 1 – 0,5 = 0,5 A.

ЗАДАЧА 1.49. В условиях задачи 1.18 (рис. 1.26) определить токи по методу наложения.

Решение

1) Определим токи от воздействия источника E₁ (рис. 1.54):

I ₁ = = = 4 A,

I₃ = I₄ = I₁ = 4 = 2 A,

I₂ = I₃ – I₁ = 2 – 4 = -2 A.

2) Определим токи от воздействия источника E₂ (рис. 1.55). Так как r₁ = r₂, то схемы рис. 1.54 и рис. 1.55 оказываются идентичными, и поскольку E₂ = 0,5E₁, то частичные токи схемы рис. 1.55 оказываются в 2 раза меньше соответствующих токов схемы рис. 1.54:

I₂ = 0,5I₁ = 2 A, I₁ = 0,5I₂ = -1 A, I₃ = I₄ = 0,5I₃ = 1 A.

3) Определим токи от воздействия источника тока J (рис. 1.56):

I ₄ = J = 4 = 2 A,

I₃ = I₄ – J = 2 – 4 = -2 A.

Так как r₁ = r₂, то I₁ = I₂ = 0,5I₃ = -1 A.

4) По принципу наложения определяем полные токи:

I₁ = I₁+ I₁+ I₁ = 4 – 1 – 1 = 2 A, I₃ = I₃+ I₃+ I₃ = 2 + 1 – 2 = 1 A,

I₂ = I₂+ I₂+ I₂ = -2 + 2 – 1 = -1 A, I₄ = I₄+ I₄+ I₄ = 2 + 1 + 2 = 5 A.

ЗАДАЧА 1.50. Решить задачу 1.34 МН.

ЗАДАЧА 1.51. В условиях задачи 1.17 (рис. 1.25) определить токи во всех ветвях МН.

ЗАДАЧА 1.52. Определить токи МН в условиях задачи 1.14 (рис. 1.22,а).

ЗАДАЧА 1.53. Методом наложения определить токи в условиях задачи 1.26 (рис. 1.32).

1.9. Применений матриц к расчёту электрических цепей

Обратим внимание на то, что при записи уравнений, описывающих состояние электрических цепей, в матричной форме ветви схемы не должны состоять только из идеальных элементов таких, как: 1) источник тока, внутреннее сопротивление которого принимается бесконечно большим r_в=, g_в = = 0; 2) источник ЭДС, внутреннее сопротивление которого r_в = 0, а соответствующая проводимость g_в = r_в^-1 = ; 3) перемычка, сопротивление которой r = 0, а g = .

Поэтому на первом этапе работы со схемой она подвергается эквивалентным преобразованиям:

1) источники тока переключаются параллельно конечным сопротивлениям других ветвей;

2) источники ЭДС ветвей, состоящих только из этих ЭДС, переносятся за узел электрической цепи;

3) узлы, соединённые перемычками, объединяются в единый узел.

П осле таких преобразований исходной схемы в новой расчётной схеме будут только обобщённые ветви вида рис. 1.57.

На этой схеме: точки «m» и «n» – конечные точки ветви, становящиеся узлами разветвлённой цепи, потенциалы этих точек, соответственно, _m и _n; напряжение ветви U = _m – _n; ток обобщённой ветви (в дальнейшем ток ветви) I, положительное направление которого выбирается обязательно совпадающим с положительным направлением напряжения ветви U; I_r – ток сопротивления ветви; E – ЭДС источника ЭДС ветви; J – ток источника тока ветви; r – сопротивление ветви.

Примечание. Указанные на рис. 1.57 направления I, I_r, E, J приняты за положительные. Если по какой-то причине направления некоторых величин будут противоположными тем, которые указаны на рис. 1.57, при передаче цифровой информации необходимо предусмотреть знак «-» перед числом.

ЗАДАЧА 1.54. Для расчёта электрической цепи рис. 1.58,а с выбранным графом, представленным на рис. 1.58,б, составить уравнения по законам Ома и Кирхгофа в матричной форме.

Параметры приведенной электрической цепи заданы:

E₁ = 80 В, E₅ = 150 В, J₂ = 3 A, J₃ = 7 A,

r₁ = 6 Ом, r₂ = 12 Ом, r₃ = 15 Ом, r₄ = 25 Ом, r₅ = 30 Ом, r₆ = 8 Ом.