2.2.5 Составим уравнение равновесия моментов относительно оси y.

От поперечной силы N и N + dN на элемент действует момент, равный произведению силы на плечо. При определении этого момента значением приращения поперечной силы (N) можно пренебречь, как малые величины высшего порядка. Тогда момент будет равен:

– N R₂ sin d R₁ d,

где: R₁d - плечо пары сил; момент взят со знаком минус, т.к. он стремиться уменьшить кривизну серединной поверхности.

Равнодействующая меридионального момента М вокруг оси y, как видно из рис.2.8, равна:

– M R₂ sin d + [M R₂ sin d + (M R₂ sin)` d d] = (M R<sub>2</sub> sin)`d d

Рисунок 2.8 - Схема действия меридионального момента вокруг оси y.

Спроектируем кольцевой момент K на ось y. Для наглядности выделим серединную поверхность и приложим момент K (рис 2.9)

Рисунок 2.9 - Действие кольцевого момента на серединную поверхность.

Как видно из рис.2.9, необходимо предварительно спроектировать момент K на радиус параллельного круга, а затем на ось y .

С делаем сечение из рис. 2.9 в плоскости xz (рис.2.10).

Рисунок 2.10 – Сечение в плоскости xz.

Тогда проекции момента K на радиус параллельного круга равна:

K R₁ d cos.

Сделаем сечение из рис.2.9 в плоскости параллельного круга (рис.2.11)

Р исунок 2.11 – Сечение в плоскости параллельного круга.

Проекция момента K на ось y равна:

– K R₁ d cos sin(d/2).

Т.к. проекций две, то сумма их будет равна:

– 2 K R₁ cos d sin(d/2)  K R₁ cos d d.

Уравнение равновесия моментов вокруг оси y будет:

– N R₂ sin d R₁ d + (M R₂ sin)` d d – K R₁ cos d d = 0,

либо

(M R₂ sin)` – K R₁ cos – N R₁ R₂ sin = 0

Окончательно систему координат можно представить в виде:

———————————————————————

Получена система трех уравнений с пятью неизвестными: S, N, K, T и M, которая, очевидно допускает бесконечное число решений. Для получения определенного решения необходимо составить еще уравнения, учитывая упругие деформации. Однако, как показывает опыт и подтверждает практика, моментами тонкостенных оболочек можно пренебречь в силу их небольших значений (см. пункт 2.2.1):

M = 0, K = 0.

Тогда из уравнения (3) следует, что и поперечная сила N также равна нулю. Вследствие этого система уравнений примет вид:

Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решим эту систему уравнений. Разделим каждый член второго уравнения на R₁R₂, получим:

S/R₁ + T/R₂ = – Z

Это есть уравнение равновесия элемента или уравнение Лапласа. Но уравнение Лапласа не позволяет определить неизвестные S и T, поэтому решим систему двух уравнений, таким образом, умножим каждый член второго уравнения на cos и сложим их, получим:

(S R₂ sin)` + S R₂ cos + R₁ R₂ (X sin + Z cos) = 0.

Умножим это уравнение на sin, получим:

(S R₂ sin)` sin + S R₂ cos sin + R₁ R₂ (X sin +Z cos) sin = 0,

где (S R₂ sin)`sin = S R₂ cos sin .

Тогда 2S R₂ cos sin + R₁ R₂ (X sin + Z cos)sin= 0,

либо (S R₂ sin)` + R₁ R₂ (X sin +Z cos) sin = 0.

Возьмем от этого уравнения неопределенный интеграл и получим:

S R₂ sin² + (X sin + Z cos) sin d = C,

где C – постоянная, учитывающая нагрузки свободного края; равная Q/2; Q - нагрузка на краю оболочки.

Данное уравнение называют уравнением равновесия зоны оболочки вращения. Из этого уравнения определяем значение меридиональной силы S, а, подставляя значения S в уравнение Лапласа, найдем кольцевую силу T.

2.2.6 Частные случаи БТТО.

2.2.6.1 Цилиндрические обечайки.

Преобразуем общее уравнение БТТО применительно для цилиндрических оболочек. Цилиндрическая оболочка это тело вращения, образующая, которой представляет собой прямую линию. Следовательно, для цилиндрической оболочки имеем

R₁ = ; R₂ = R;  = /2

Принимаем в уравнении равновесии зоны R₁d = dx, т.е. произведение бесконечно большого числа на бесконечно малую величину равна какому – то числу dx.

Тогда из уравнения равновесия зоны:

SR₂sin² +  (X sin + Z cos) sind = Q/2

имеем:

SR + = Q/2

S = – + .

Из уравнения Лапласа определяем силу T:

S/R₁ + T/R₂ = – Z; T = – ZR

Если сосуд, нагруженный внутренним газовым давлением, то внешние силы раскладываются следующим образом: X = 0 Z = – P.

В реальных конструкциях такие цилиндры почти всегда закрыты днищами любой формы, то краевая нагрузка определяется (см. рис.2.12):

Q = P  R²

P

Рисунок 2.12 – Расчетная схема цилиндра.

Тогда меридиональная сила равна S = – ,

а кольцевая: T = – ZR = PR .

Меридиональные и кольцевые напряжения будут равны:

_S = ; _T = .

Отсюда видно, что в цилиндрах, нагруженных внутренним газовым давлением кольцевые напряжения в 2 раза больше меридиональных напряжений. В связи с этим разрушение цилиндра произойдет по меридиану, т.е. по образующей.