§ 2.5 Свойство 5

Треугольник, образованный точкой касания окружностей друг с другом и точками пересечения окружностей с касательной, прямоугольный. Отношение его катетов равно частному корней радиусов этих окружностей.

Дано О₂ – центр одной из касающихся в точке С окружностей. Их радиусы r и R соответственно.

Проведены общие касательные окружностей. М и N – точки пересечения внутренней касательной с внешними.

Доказать А₁С / СВ₁ = √r / R

А₁СВ₁ – прямоугольный треугольник.

Доказательство

1. ▲А₁МС и ▲СМВ₁ – равнобедренные → ÐМА₁С = ÐМСА₁ = α, ÐМВ₁С = ÐМСВ₁ = β.

2. 2α + 2β + ÐА₁МС + ÐСМВ₁ = 2p → 2α + 2β = 2p - (ÐА₁МС + ÐСМВ₁) = 2p - p = p, α + β = p/2

3. Но ÐА₁СВ₁ = α + β → ÐА₁СВ₁ – прямой → ÐВ₁СО₂ = ÐСВ₁О₂ = p/2 – β = α

3. ▲А₁МС и ▲СО₂В₁ – подобны → А₁С / СВ₁ = МС / О₂В₁ = √Rr / R = √r / R

Утверждения, используемые в доказательстве 1)Расписываем сумму углов треугольников, пользуясь тем, что они равнобедренные. Равнобедренность треугольников доказывается при помощи свойства о равенстве отрезков касательных.

2)Расписав сумму углов таким образом, получаем, что в рассматриваемом треугольнике есть прямой угол, следовательно он прямоугольный. Первая часть утверждения доказана.

3)По подобию треугольников(при его обосновании пользуемся признаком подобия по двум углам) находим отношение катетов прямоугольного треугольника.

§ 2.6 Свойство 6

Четырехугольник, образованный точками пересечения окружностей с касательной, является трапецией, в которую можно вписать окружность.

Дано Две окружности радиусами r и R касаются в одной точке. Из точки P выходят общие касательные окружностей. М и N – точки пересечения внутренней касательной с внешними. А₁К перпендикуляр В₁В₂.

Доказать А₂А₁В₁В₂ – трапеция, в которую можно вписать окружность.

Доказательство 1.▲А₁РА₂ и ▲В₁РВ₂ – равнобедренные т.к. А₁Р = РА₂ и В₁Р = РВ₂ как отрезки касательных → ▲А₁РА₂ и ▲В₁РВ₂ – подобные.

2.А₁А₂ ║ В₁В₂, т.к. равны соответственные углы, образованные при пересечении секущей А₁В_1.

3. MN – средняя линия по свойству 2 → А₁А₂ + В₁В₂ = 2MN = 4√Rr

3. А₁В₁ + А₂В₂ = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = А₁А₂ + В₁В₂ → в трапеции А₂А₁В₁В₂ сумма оснований равна сумме боковых сторон, а это является необходимым и достаточным условием существования вписанной окружности.

Утверждения, используемые в доказательстве 1)Вновь воспользуемся свойством отрезков касательных. С его помощью докажем равнобедренность треугольников, образованных точкой пересечения касательных и точками касания.

2)Из этого будет следовать подобие данных треугольников и параллельность их оснований. На этом основании делаем вывод о том, что этот четырехугольник является трапецией.

3)По доказанному нами ранее свойству(2) находим среднюю линию трапеции. Она равна двум средним геометрическим радиусов окружностей. В полученной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон, а это является необходимым и достаточным условием для существования вписанной окружности.