3.6. Замечания о существовании решений.

Из курса математического анализа известно, что задача о существовании минимума непрерывной функции на компактном множестве всегда имеет по крайней мере одно решение (теорема Вейерштрасса). В нашем случае — случае некомпактной области определения — нужны дополнительные условия.

З а д а ч а  2.7. Приведите пример задачи (1) с непрерывной (или, даже, со сколь угодно гладкой) ограниченной снизу (f(x)  l при некотором l и всех x  R^m) функцией f, не имеющей решения.

В следующей теореме приводится одно из таких возможных дополнительных условий.

Теорема о разрешимости задачи безусловной оптимизации. Пусть функция f непрерывна и при некотором   R^m множество S_ = {x  R^m: f(x)  } непусто и ограничено. Тогда задача (1) имеет по крайней мере одно решение.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество S_ замкнуто.

З а д а ч а  2.8*. Докажите.

Поэтому S_ — компактное подмножество R^m. В силу теоремы Вейерштрасса, очевидно, функция f достигает на S_ своего минимума: x* = argmin_xS f(x). Очевидно, x* — решение задачи (1), поскольку f(x*)   в S_, а вне S_ функция f принимает значения бóльшие .

З а д а ч а  2.9. Приведите пример (непостоянной) функции f, для которой задача (1) разрешима, а условия теоремы 2.6 не выполнены.

2.7. Замечания о единственности решений.

Вопрос о единственности (как, впрочем, и о существовании) решений весьма важен в теоретическом плане. Например, если x* — единственное решение задачи (1) и {x^k}  R^m — ограниченная последовательность такая, что f(x^k)  f(x*) = min f(x) при k , то x^k  x* = argmin f(x) при k  . Такое свойство бывает полезным при исследовании приближенных методов решения оптимизационных задач.

З а д а ч а  2.10. Докажите сформулированное утверждение (воспользуйтесь компактностью последовательности {x^k}).

Точка x* локального минимума дважды дифференцируемой функции f называется невырожденной, если оператор f ўў(x*) невырожден. Она называется локально единственной, если в некоторой ее окрестности V_x* нет других точек локального минимума функции f.

З а д а ч а  2.11. Приведите пример функции f, имеющей локально строгую, но не локально единственную точку минимума.

Теорема о локальной единственности решений. Невырожденная точка локального минимума локально единственна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное: x* не является локально единственной точкой минимума, т. е. найдется сходящаяся к x* последовательность {xⁿ} локальных минимумов функции f. Тогда (см. задачу 2.3)

f ў(xn)  f (x*) = f ўў(x*)(xn x*) + o(xn  x*).

Поскольку xⁿ и x* — локальные минимумы и, следовательно, стационарные точки, f (xⁿ) = f (x*) = Q. Далее, положим (как мы уже делали) gⁿ = (xⁿ  x*)/||xⁿ  x*||. Тогда, очевидно,

f (x*)gn =  o(xn  x*) ||xn  x*|| .

(9)

Далее рассуждения стандартны: {gⁿ} лежит на единичной сфере в R^m, поэтому ее можно считать сходящейся к некоторому пределу g ⁰  Q. Переходя к пределу в (9), получаем

f (x*)g0 = ,

что противоречит невырожденности оператора f (x*).

З а д а ч а  2.12. Восстановите детали доказательства.