Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
NP-L2.1.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
244.74 Кб
Скачать

3.6. Замечания о существовании решений.

Из курса математического анализа известно, что задача о существовании минимума непрерывной функции на компактном множестве всегда имеет по крайней мере одно решение (теорема Вейерштрасса). В нашем случае — случае некомпактной области определения — нужны дополнительные условия.

З а д а ч а  2.7. Приведите пример задачи (1) с непрерывной (или, даже, со сколь угодно гладкой) ограниченной снизу (f(x)  l при некотором l и всех xRm) функцией f, не имеющей решения.

В следующей теореме приводится одно из таких возможных дополнительных условий.

Теорема о разрешимости задачи безусловной оптимизации. Пусть функция f непрерывна и при некотором   Rm множество S = {xRm: f(x)  } непусто и ограничено. Тогда задача (1) имеет по крайней мере одно решение.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество S замкнуто.

З а д а ч а  2.8*. Докажите.

Поэтому S — компактное подмножество Rm. В силу теоремы Вейерштрасса, очевидно, функция f достигает на S своего минимума: x* = argminxS f(x). Очевидно, x* — решение задачи (1), поскольку f(x*)   в S, а вне S функция f принимает значения бóльшие .

З а д а ч а  2.9. Приведите пример (непостоянной) функции f, для которой задача (1) разрешима, а условия теоремы 2.6 не выполнены.

2.7. Замечания о единственности решений.

Вопрос о единственности (как, впрочем, и о существовании) решений весьма важен в теоретическом плане. Например, если x* — единственное решение задачи (1) и {xk}  Rm — ограниченная последовательность такая, что f(xk)  f(x*) = min f(x) при k , то xkx* = argmin f(x) при k  . Такое свойство бывает полезным при исследовании приближенных методов решения оптимизационных задач.

З а д а ч а  2.10. Докажите сформулированное утверждение (воспользуйтесь компактностью последовательности {xk}).

Точка x* локального минимума дважды дифференцируемой функции f называется невырожденной, если оператор f ўў(x*) невырожден. Она называется локально единственной, если в некоторой ее окрестности Vx* нет других точек локального минимума функции f.

З а д а ч а  2.11. Приведите пример функции f, имеющей локально строгую, но не локально единственную точку минимума.

Теорема о локальной единственности решений. Невырожденная точка локального минимума локально единственна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное: x* не является локально единственной точкой минимума, т. е. найдется сходящаяся к x* последовательность {xn} локальных минимумов функции f. Тогда (см. задачу 2.3)

f ў(xn)  f (x*) = f ўў(x*)(xnx*) + o(xnx*).

Поскольку xn и x* — локальные минимумы и, следовательно, стационарные точки, f (xn) = f (x*) = Q. Далее, положим (как мы уже делали) gn = (xnx*)/||xnx*||. Тогда, очевидно,

f (x*)gn = 

o(xnx*)

||xnx*||

.

(9)

Далее рассуждения стандартны: {gn} лежит на единичной сфере в Rm, поэтому ее можно считать сходящейся к некоторому пределу g 0  Q. Переходя к пределу в (9), получаем

f (x*)g0 = ,

что противоречит невырожденности оператора f (x*).

З а д а ч а  2.12. Восстановите детали доказательства.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]