
- •1.Основные понятия и обозначения.
- •2. Общая постановка задачи
- •3. Задача безусловной оптимизации
- •3.1. Определения.
- •3.3. О дифференцируемости функций на Rm.
- •2.4. Необходимое условие локального экстремума.
- •3.5. Теорема о локальном минимуме (необходимые и достаточные условия второго порядка).
- •3.6. Замечания о существовании решений.
- •2.7. Замечания о единственности решений.
- •2.8. Выпуклые функции на Rm.
- •2.9. Теорема о разрешимости для сильно выпуклой функции.
- •2.10. Теорема единственности для строго выпуклой функции.
3.6. Замечания о существовании решений.
Из курса математического анализа известно, что задача о существовании минимума непрерывной функции на компактном множестве всегда имеет по крайней мере одно решение (теорема Вейерштрасса). В нашем случае — случае некомпактной области определения — нужны дополнительные условия.
З а д а ч а 2.7. Приведите пример задачи (1) с непрерывной (или, даже, со сколь угодно гладкой) ограниченной снизу (f(x) l при некотором l и всех x Rm) функцией f, не имеющей решения.
В следующей теореме приводится одно из таких возможных дополнительных условий.
Теорема о разрешимости задачи безусловной оптимизации. Пусть функция f непрерывна и при некотором Rm множество S = {x Rm: f(x) } непусто и ограничено. Тогда задача (1) имеет по крайней мере одно решение.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество S замкнуто.
З а д а ч а 2.8*. Докажите.
Поэтому S — компактное подмножество Rm. В силу теоремы Вейерштрасса, очевидно, функция f достигает на S своего минимума: x* = argminxS f(x). Очевидно, x* — решение задачи (1), поскольку f(x*) в S, а вне S функция f принимает значения бóльшие .
З а д а ч а 2.9. Приведите пример (непостоянной) функции f, для которой задача (1) разрешима, а условия теоремы 2.6 не выполнены.
2.7. Замечания о единственности решений.
Вопрос о единственности (как, впрочем, и о существовании) решений весьма важен в теоретическом плане. Например, если x* — единственное решение задачи (1) и {xk} Rm — ограниченная последовательность такая, что f(xk) f(x*) = min f(x) при k , то xk x* = argmin f(x) при k . Такое свойство бывает полезным при исследовании приближенных методов решения оптимизационных задач.
З а д а ч а 2.10. Докажите сформулированное утверждение (воспользуйтесь компактностью последовательности {xk}).
Точка x* локального минимума дважды дифференцируемой функции f называется невырожденной, если оператор f ўў(x*) невырожден. Она называется локально единственной, если в некоторой ее окрестности Vx* нет других точек локального минимума функции f.
З а д а ч а 2.11. Приведите пример функции f, имеющей локально строгую, но не локально единственную точку минимума.
Теорема о локальной единственности решений. Невырожденная точка локального минимума локально единственна.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное: x* не является локально единственной точкой минимума, т. е. найдется сходящаяся к x* последовательность {xn} локальных минимумов функции f. Тогда (см. задачу 2.3)
f ў(xn) f (x*) = f ўў(x*)(xn x*) + o(xn x*). |
Поскольку xn и x* — локальные минимумы и, следовательно, стационарные точки, f (xn) = f (x*) = Q. Далее, положим (как мы уже делали) gn = (xn x*)/||xn x*||. Тогда, очевидно,
|
(9) |
Далее рассуждения стандартны: {gn} лежит на единичной сфере в Rm, поэтому ее можно считать сходящейся к некоторому пределу g 0 Q. Переходя к пределу в (9), получаем
f (x*)g0 = , |
что противоречит невырожденности оператора f (x*).
З а д а ч а 2.12. Восстановите детали доказательства.