1.Основные понятия и обозначения.

Всюду ниже R — множество вещественных, N — натуральных, а C — комплексных чисел. С самого начала мы будем использовать векторные обозначения.

Пространство называется линейным, если для любых и и . Через R^m обозначается m-мерное вещественное линейное пространство.

Индекс внизу всегда обозначает координату вектора, например, x_i — это i-ая координата вектора x. Последовательности мы обычно будем обозначать индексом вверху: {xⁿ}.

Через (· ,·) обозначается каноническое скалярное произведение в R^m:

(x, y) = ^m_i=1x_iy_i.

Норма вектора определяется скалярным произведением: || · || = (^m_i=1x_i²)^1/2.

Линейное пространство, в котором введена норма будем называть линейным нормированным пространством.

Для двух векторов x, y  R^m мы будем писать x  y, если x_i  y_i при всех i = 1, ..., m; здесь x_i и y_i — i-е координаты векторов x и y, соответственно.

Обозначение U(x₀, r) закреплено для шара в пространстве R^m с центром в x₀ радиуса r: U(x₀, r) = {x  R^m: ||x  x₀||  r}.

Мы будем различать обозначение f: X  Y отображения, действующего из множества X во множество Y, и обозначение f: x  y (или x  f(x)) отображения, переводящего точку x в точку f(x), а также обозначение f отображения и обозначение f(x) значения отображения f в точке x.

Пусть линейные нормированные пространства.

Отображение А: , будем называть оператором А.

Оператор является линейным если для и выполняется

Если A = {a_ij}^{n, m}_{i=1, j=1}  —n×m-матрица, то через A будем также обозначается и линейный оператор из Rⁿ в R^m, задаваемый этой матрицей. В дальнейшем будем рассматривать операторы этого типа.

Напомним, что линейный оператор A в R^m называется самосопряженным или симметричным, если при всех x, y  R^m

(Ax, y) = (x, Ay).

Известно, что оператор A симметричен в том и только том случае, когда его матрица симметрична (т. е.переходит в себя при транспонировании).

Оператор A называется невырожденным, если уравнение Ax = 0 имеет только нулевое решение. Другими словами говорят, что у него нулевое ядро ker A, т. е. если он переводит в нуль только нуль. Из курса алгебры известно, что оператор A невырожден в том и только том случае, если определитель его матрицы отличен от нуля.

Оператор A называется положительно определенным (часто пишут A > 0), если (Ax, x) > 0 при всех ненулевых x  R^m.

Наконец, оператор A называется неотрицательно определенным (пишут A  0), если при всех x  R^m (Ax, x)  0.

Аналогично определяются понятия отрицательно и неположительно определенных операторов.

Вводится понятие нормы оператора

Если оператор A  I, где I — тождественный оператор на R^m, а   R, положительно (неотрицательно) определен, то часто пишут >  (соответственно, A  ). Аналогично определяются записи <  и  .

Из курса алгебры известно, что симметричный оператор A удовлетворяет неравенствам    ,

в том и только том случае, если все точки спектра (A) оператора A лежат на отрезке [, ]

  _i  .: (3)

В частности, поскольку норму в R^m мы считаем евклидовой, для симметричных операторов A имеют место утверждения

||A||= max_i(A)