Введение в теорию игр

Живя в обществе, мы неизбежно сталкиваемся с другими людьми, и интересы различных людей практически никогда не совпадают между собой. В обществе неизбежны столкновения интересов различных людей, противоречия между этими интересами.

Это столкновение интересов является предметом целого ряда наук  психологии, социологии, политологии. Даже экономическая наука по большому счету изучает столкновение интересов, так как конкуренция является именно таким столкновением.

Но лишь в 40-е годы двадцатого века это столкновение интересов стало предметом математического исследования, прежде всего в области экономики. Первая значительная книга по теории игр  книга Дж. фон Неймана и С. Моргенштерна, изданная в 1944 году так и называлась  “Теория игр и экономическое поведение”.

Предмет оказался чрезвычайно сложным, даже для математики. И сейчас, 60 лет спустя, успехи теории игр довольно ограничены. Тем не менее, она нашла своё применение особенно в военном деле, так как война  это столкновение интересов практически в чистом виде. В экономике теория игр также находит своё применение.

От той теории, которая существует в настоящее время, не следует ждать чудодейственных рецептов. Она не предписывает поведение, ведущее к выигрышу. Она лишь указывает, чего может добиться игрок в наихудшей для него ситуации и как он должен действовать, чтобы в этой наихудшей ситуации добиться минимального проигрыша (или максимального выигрыша). Но и это, безусловно, полезно. А рекомендации по выигрышу  дело будущей теории игр.

Предмет теории игр

Теория игр - теория математических моделей принятия решений в условиях неопределенности, в условиях столкновения, конфликтных ситуациях, когда принимающий решение субъект (игрок), располагает информацией лишь о множестве возможных ситуаций, в одной из которых он в действительности находится,о множестве решений, которые он может принять, и о количественной мере того выигрыша, который он мог бы получить, выбрав в данной ситуации данную стратегию.

Теория игр пытается математически объяснить явления возникающие в конфликтных ситуациях, в условиях столкновения сторон. Такие ситуации изучаются так же психологией, политологией, социологией, экономикой.

Для конфликтов характерно то, что ни один из его участников заранее не знает решений, принимаемых остальными участниками. Другими словами участники конфликтов вынуждены действовать в условиях риска и неопределенности. Неопределенность исходов может проявляться не только в результате сознательных действий других участников, но и как результат действии тех или иных стихийных сил.

Формализация содержательного описания конфликта представляет собой его математическую модель. В простейшем случае модель игры включает две стороны, интересы которых полностью или частично противоположны. Игроком принято считать одного участника или группу участников, имеющих общие интересы, несовпадающие с интересами других групп.

Плавила, условия игры определяют возможные поведение, выборы и ходы для игроков на любом этапе развития игры. Сделать выбор игроку, значит остановиться на одной из его возможностей. Игрок осуществляет этот выбор с помощью ходов. Сделать ход – это значит, на определенном этапе игры осуществить сразу весь выбор или его часть в зависимости от возможностей, предусмотренных правилами игры. Каждый игрок на определенном этапе игры делает ход согласно сделанному выбору. Другой игрок, зная или не зная о сделанном выборе первого игрока, также делает ход. Каждый игрок старается учесть информацию о прошлом развитии игры, если такая возможность допускается правилами игры.

Набор правил, которые однозначно указывают игроку, какой выбор он должен сделать при каждом ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в результате проведения игры, называется стратегией игроков. Стратегия в теории игр означает определенный законченный план действий игрока, показывающий как надо действовать ему при всех возможных случаях развития игры. Поэтому стратегии могут быть плохими, неудачными или удачными, хорошими.

Правилами игры предусматриваются определенные выигрыши для игроков в зависимости от применяемых ими стратегий и исходов игры. Выигрыш – это мера эффекта для игрока. В теории игр выигрыш должен измеряться обязательно количественно.

В теории игр не существует установившейся классификации видов игр. Однако по определенным критериям некоторые виды можно выделить. Для этого необходимо, прежде всего, выявить классификационные признаки.

Классификация игр

Классификацию игр можно проводить:

по количеству игроков,

количеству стратегий,

характеру взаимодействия игроков,

характеру выигрыша, количеству ходов,

состоянию информации и т.д.

По числу игроков

В зависимости от количества игроков различают игры двух и  n  игроков. Первые из них наиболее изучены. Игры трёх и более игроков менее исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и технических возможностей получения решения. Чем больше игроков - тем больше проблем

Существуют игры с 1 игроком ( пасьянс), но можно считать как 2 игрока ( 2-ой – случай или природа)

Т.о. большой интерес представляют парные игры. Их довольно много и большая часть того, что сделано на сегодняшний день относится к случаю двух игроков.

По количеству стратегий:

По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий игра называется бесконечной.

В случае если бесконечная игра имеет число стратегий, которые можно перенумеровать, то она называется сепарабельной, если же число стратегий заполняет сплошь некоторый промежуток (кондикуум), то она называется непрерывной.

По характеру взаимодействия игроков:

1. Бескоалиционные игры;

2. Коалиционные игры.

1)   бескоалиционные: игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции;

2)    коалиционные (кооперативные) – могут вступать в коалиции.

В кооперативных играх коалиции наперёд определены.

По характеру выигрыша:

1. Игры с нулевой суммой. В: играх с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю).

2. Игры с ненулевой суммой (общий капитал всех игроков меняется в процессе игры)

По характеру получения информации:

1. Игры в нормальной форме (игроки получают всю информацию до начала игры);

2. Динамические игры (информация поступает в процессе игры).

По количеству ходов

По количеству ходов выделяют игры одношаговые и многошаговые. Одношаговые игры заканчиваются после одного хода каждого игрока. Каждый игрок делает ход, и затем делятся выигрыши.

Многошаговые игры делятся на: позиционные, стохастические, дифференциальные. В позиционных играх может быть несколько игроков, каждый из которых может последовательно во времени делать несколько ходов. Выигрыши определяются в зависимости от исходов игры. Если в игре производятся ходы, приводящие к выбору определенных позиций, причем имеется определенная вероятность возврата на предшествующую позицию, то такие игры являются стохастическими. Если в многошаговой игре допускается делать ходы непрерывно и подчинять поведение игроков некоторым условиям, описываемым дифференциальными уравнениями, то такие игры называются дифференциальными.

По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные и др.

Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш  игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 2, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).

Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение и оно может быть легко найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования.

Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2.)

Для биматричных игр также разработана теория оптимального поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные.

Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной в зависимости от стратегий. Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано практически приемлемых методов их нахождения.

Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определённого числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.