Обычно именно это последнее утверждение называют принципом суперпозиции. Графы и способы их представления

Мультиграф — граф, в котором может быть пара вершин, которая соединена более чем одним ребром (ненаправленным), либо более чем двумя дугами противоположных направлений.

Подграф исходного графа — граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер.

Суграф (частичный граф) исходного графа — граф, содержащий все вершины исходного графа и подмножество его рёбер

Степень вершины — количество рёбер графа G, инцидентных вершине x. Обозначается  . Минимальная степень вершины графа G обозначается  . а максимальная —  .

Смежность — понятие, используемое в отношении только двух рёбер либо только двух вершин: Два ребра, инцидентные одной вершине, называются смежными; две вершины,инцидентные одному ребру, также называются смежными.

Инцидентность — понятие, используемое только в отношении ребра и вершины: если   — вершины, а   — соединяющее их ребро, тогда вершина   и ребро  инцидентны, вершина   и ребро   тоже инцидентны. Две вершины (или два ребра) инцидентными быть не могут. Для обозначения ближайших вершин (рёбер) используется понятие смежности.

Полный граф — граф, в котором для каждой пары вершин  , существует ребро, инцидентное   и инцидентное   (каждая вершина соединена ребром с любой другой вершиной).

Дополнение графа — граф над тем же множеством вершин, что и исходный, но вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда в исходном графе ребра нет.

Основные определения

Граф задается множеством точек или вершин х₁, х₂, ..., х_n и множеством линий или ребер a₁, a₂, ... , a_m, соединяющих между собой все или часть точек. Формальное определение графа может быть дано следующим образом.

Графом называется двойка вида

G = (X, A),

где X = {x_i}, i = 1, 2, ..., n – множество вершин графа, A = {a_i}, i = 1, 2,... , m – множество ребер графа.

Графы могут быть ориентированными, неориентированными и смешанными (рис. 1.2). Если ребра у множества A ориентированы, что обычно показывается стрелкой, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным графом или орграфом (рис. 1.2,а).

Рис. 1.2. 

Если ребра не имеют ориентации, то граф называется неориентированным (рис. 1.2,б). Граф, в котором присутствуют и ребра, и дуги называется смешанным (рис. 1.2,в). В случае, когда G = (X, A) является орграфом, и мы хотим пренебречь направленностью дуг из множества A, то неориентированный граф, соответствующий G, будет обозначаться и называться неориентированным дубликатом или неориентированным двойником (рис. 1.2,г).

Б И Л Е Т № 24

1. Теорема об общем решении неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка y⁽ⁿ⁾ + f₁(x) y^(n-1) + …+ f_n(x) y = f(x).

2. Матричное представление графов. Матрицы смежности и инцидентности. Матрица достижимости. Сильносвязные графы. Изоморфизм и равенство графов. Гомеоморфизм графов. Подразбиение и надразбиение ребер графа.

ТЕОРЕМА (ОБ ОБЩЕМ РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ)

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего ему однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения:             , или   (3)

 

Доказательство

Покажем, что функция   удовлетворяет всем требованиям общего решения  ЛНДУ (1), то есть:

а)   удовлетворяет ДУ;

б) содержит нужное количество произвольных постоянных;

в) с помощью функции   можно решить любую задачу Коши.

 

.	(3')
Так как   – это общее решение ЛОДУ (2), то   где   - это ФСЧР ДУ (2),   - произвольные постоянные.			(4)

Действительно, так как  - это какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения, то оно удовлетворяет ЛНДУ (1) , то есть

 

Проверим для функции   требования а), б), в):

а) подставим   в дифференциальное уравнение (1):

- ДУ (1) удовлетворяется;

 

б) подставим в   слагаемое  :

 и видим, что функция   содержит нужные две произвольные постоянные  ;

 

в) решим задачу Коши для дифференциального (1), поставив начальные условия:

;

эти начальные условия подставляем в функцию (3) с учётом равенства (4) для  :

                        

 

получилась система двух линейных алгебраических уравнений относительно чисел   с главным определителем  ,

так как   и   – это линейно независимые частные решения однородного ДУ, поэтому их вронскиан  в любой точке  ; по теореме Крамера заключаем, что система уравнений относительно   имеет единственное решение при любых числах  ,

поэтому любая задача Коши для ДУ(1) может быть решена.

Таким образом, функция   удовлетворяет всем требованиям общего решения, следовательно, таковым и является, ч.т.п.

 

Гомеоморфные графы — графы, получаемые из одного графа с помощью последовательности подразбиений рёбер.