3. Практическое задание № 21.

Тройной интеграл от функции f (x,y,z) в параллелепипеде   определяется как предел суммы Римана, при котором максимальное значение приращений Δx_i, Δy_j и Δz_k стремятся к нулю:

Чтобы определить тройной интеграл в произвольной области U, выберем параллелепипед  , включающий заданную область U. Введем функцию g (x,y,z), такую, что

Тогда тройной интеграл от функции функции f (x,y,z) в произвольной области U определяется в виде:

Основные свойства тройного интеграла

Пусть функции f (x,y,z) и g (x,y,z) интегрируемы в области U. Тогда справедливы следующие свойства:

1. 

2. 

3. , где k - константа;

4. Если   в любой точке области U, то  ;

5. Если область U является объединением двух непересекающихся областей U₁ и U₂, то ;

6. Пусть m - наименьшее и M - наибольшее значение непрерывной функции f (x,y,z) в области U. Тогда для тройного интеграла справедлива оценка:

где V - объем области интегрирования U.

7. Теорема о среднем значении тройного интеграла. Если функция f (x,y,z) непрерывна в области U, то существует точка M₀   U, такая, что

где V - объем области U.

Замена переменных в тройных интегралах

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение.  Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U: Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями: Предполагается, что выполнены следующие условия: Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными; Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw; Якобиан преобразования I (u,v,w), равный отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U. Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде: В приведенном выражении   означает абсолютное значение якобиана.  Для вычисления тройных интегралов часто используются цилиндрические и сферические координаты. Эти случаи рассматриваются подробно на страницах Тройные интегралы в цилиндрических координатах Тройные интегралы в сферических координатах Ниже приводятся примеры вычисления интегралов с использованием других преобразований координат.

2. Конечный автомат — абстрактный автомат без выходного потока, число возможных состояний которого конечно. Результат работы автомата определяется по его конечному состоянию.

Существуют различные способы задания конечного автомата. Например, конечный автомат может быть задан в виде упорядоченной пятерки:  , где

•  — входной алфавит (конечное множество входных символов), из которого формируются входные цепочки, допускаемые конечным автоматом;

•  — множество состояний;

•  — начальное состояние  ;

•  — множество заключительных состояний  ;

•  — функция переходов, определенная как отображение  , такое, что  , т.е. значение функции переходов на упорядоченной паре (состояние, входной символ или пустая цепочка) есть множество всех состояний, в которые из данного состояния возможен переход по данному входному символу или пустой цепочке (λ).

Конечный автомат начинает работу в состоянии q₀, считывая по одному символу входной цепочки. Считанный символ переводит автомат в новое состояние в соответствии с функцией переходов. Читая входную цепочку x и делая один такт за другим, автомат, после того как он прочитает последнюю букву цепочки, окажется в каком-то состоянии q'. Если это состояние является заключительным, то говорят, что автомат допустил цепочку x.

Детерминированный конечный автомат (ДКА) — набор из пяти элементов  , где   — алфавит,   — множество состояний,  — начальное (стартовое) состояние,   — множество допускающих состояний,   — функция переходов.

Графы

Граф автомата – это ориентированный связный граф, вершины которого символизируют внутренние состояния автомата, а дуги – переходы из одного состояния в другое. Для графа Мили на дугах указываются сходные и выходные буквы. Выходные буквы пишутся над дугами, символизируя то, что выходное состояние зависит от состояния автомата в предыдущий момент времени. Для графа автомата Мура на дугах записываются только входные буквы, выходные же указываются около вершин. Важный момент: Если из каждой вершины выходит столько дуг, сколько есть входных букв, то автомат называетсяполным. Другими словами – если из каждой вершины определены переходы для каждой входной буквы. В наших примерах автомат Мили является полным, а автомат Мура – частичным.  И ещё: Если из одной вершины выходит дуг больше, чем входных букв (то есть 2 и более дуг с одинаковыми входными буквами), то такой автомат называется недетерминированным. Такое может произойти при построении формализованного описания и тогда надо будет произвести переход к детерминированному автомату, но это не всегда можно выполнить. Описание этого процесса я тоже упускаю, сразу нарисовав детерминированный автомат. На этом о графах всё.

Таблицы переходов и выходов.

Графы нагляднее для человека, а таблицы — для машины. Любой автомат можно представить в виде таблицы переходов и выходов (ТПВ). В ТПВ строками являются внутренние состояния автомата, а столбцами – входные буквы. Построим ТПВ для наших графов Мили и Мура. Если не определена какая-либо входная или выходная буква, то вместо неё ставится прочерк. Если не определено состояние, то действует это же простое правило.