Б И Л Е Т № 20

1. Определение двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному однократному.

2. Минимизация ПФ. Понятие импликанты и имплиценты. Понятие о сокращенной ДНФ. Этапы минимизации ПФ. Исключение лишних простых импликант. Понятие о тупиковых ДНФ. Минимальные ДНФ. Метод минимизации ПФ Квайна. Метод Петрика получения тупиковых ДНФ. Метод минимизации ПФ Квайна - Мак-Класки.

3. Практическое задание № 20.

1. Двойной интеграл - это обобщение определенного интеграла на двумерный случай. Т.е. для определения понятия двойного интеграла используется функция, зависящая уже от двух переменных: f(x,y). Эта функция должна быть определена на некоторой, обладающей конечной площадью, области D плоскости X0Y. При этом граница области D должна состоять из конечного числа графиков непрерывных функций.

Обозначение двойного интеграла

Геометрический смысл двойного интеграла.

Для того, чтобы понять, что же представляет из себя двойной интеграл с геометрической точки зрения, давайте посмотрим на рисунок ниже.   Итак, пусть в пространстве мы имеем некоторое тело (криволинейный цилиндр [в отличие от криволинейной трапеции в определенном интеграле]), ограниченное сверху поверхностью f(x,y), по бокам - некоторой цилиндрической поверхностью (образующие которой параллельны оси OZ), а снизу плоскостью X0Y.  Не углубляясь особо в теорию, возьмем из нее главное: Геометрический смысл двойного интеграла: при неотрицательной функции f(x,y), двойной интеграл по области D представляет из себя объем криволинейного цилиндра, который построен на области D и ограничен сверху поверхностью z=f(x,y).

Основные свойства двойного интеграла

(доказываются аналогично свойствам определенного интеграла)

Свойство 1 (о линейности двойного интеграла по подынтегральной функции)

Двойной интеграл от линейной комбинации функций равен аналогичной линейной комбинации двойных интегралов от каждой из функций:

          ,

где — постоянные множители по x и по y.

Свойство 2 (об аддитивности двойного интеграла по области интегрирования)

Если D = D1  D2, то

 

Свойство 3 (о значении двойного интеграла от функции, тождественно равной единице)

Если подынтегральная функция f (x,y)  1 на области D, то двойной интеграл от функции f (x,y) по области D равен площади (мере)  области интегрирования:

Свойство 4 (оценки значения двойного интеграла)

1. Если m и M — наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y) в области D, то

2. Если   при (x,y)D, то

 - площадь области 

Свойство 5 (об интегрировании неравенств двойным интегралом)

Если при   верно неравенство  , то  ,  то есть двойной интеграл от бóльшей функции имеет бóльшее значение (при условии, что оба интеграла существуют).

 

 

Свойство 6 (теорема о среднем)

Если функция f (x,y) непрерывна в области D, то существует хотя бы одна точка P₀(x₀,y₀)D, такая что

Число   называется средним значением функции f (x,y) в области D.

2. Минимизация ПФ. Понятие импликанты и имплиценты. Понятие о сокращенной ДНФ. Этапы минимизации ПФ. Исключение лишних простых импликант. Понятие о тупиковых ДНФ. Минимальные ДНФ. Метод минимизации ПФ Квайна. Метод Петрика получения тупиковых ДНФ. Метод минимизации ПФ Квайна - Мак-Класки.

3.8. Минимизация переключательных функций

При технической реализации переключательных функций, широко используемых в вычислительной технике, системах авто­матического (автоматизированного) управления и контроля, воз­никает задача нахождения наиболее экономичного представле­ния соответствующих переключательных функций. По существу решается задача оптимизации, причем минимизируется стои­мость реализации. Понятие стоимости устройства, реализующего переключательную функцию, – дискретного устройства – отно­сительно. Для переключательных схем, реализуемых в виде релейно-контактных схем, для схем из корпусных транзисторов и резисторов, из микросхем логических элементов малой степени интеграции минимизация числа реле, контактов, транзисторов, числа микросхем означает снижение стоимости [4]. Это было особенно актуально на ранних этапах развития дискретной, циф­ровой техники. Для современных цифровых автоматов на боль­ших и сверхбольших интегральных схемах (БИС и СБИС) стоимость определяется площадью схемы на кристалле кремния и непосредственно не связана с числом микротранзисторов и других элементов. Нередко схема с большим числом элементов, но обладающая высокой регулярностью, занимает небольшую площадь, кроме того, она выгодна с точки зрения проектирования, ведь стоимость проектирования, как и стоимость изготовления, входит в суммарную стоимость устройства.

При построении устройства из дискретных компонентов в целях повышения надежности наряду с уменьшением их числа (что увеличивает вероятность безотказной работы) большое значение придается уменьшению числа соединений между компонентами (это также увеличивает вероятность безотказной работы). Кстати, эта задача решается на соответствующем графе – он разбива­ется на подграфы, минимально связанные между собой. Однако для БИС надежность соединений внутри кристалла достаточно высока по сравнению с надежностью соединений между кристал­лами. В связи с этим большое значение приобретает деление системы на БИС таким образом, чтобы уменьшить число точек соединений между ними.

Ограничимся в дальнейшем целью нахождения наиболее простого представления переключательной функции в смысле наименьшего числа входящих в нее символов (букв). Процесс получения такого представления будем называть минимизацией. Под различными символами (буквами) будем понимать вхожде­ния одной и той же переменной в различные дизъюнктивные (конъюнктивные) члены функции. Так, функция z1(abc) =   содержит шесть букв, а функция z2(abc) =   – четыре буквы, хотя обе функции зависят от трех переменных a, b, c (закон обобщенного склеивания z1 = z2).

Методы минимизации разрабатываются применительно к каждой отдельной функциональной полной системе элемент­ных переключательных функций. Наиболее детально такие мето­ды разработаны для систем из дизъюнкции, конъюнкции и инверсии.

При этом задача минимизации переключательной функции сводится к нахождению такой ее формы, которая содержит наи­меньшее число дизъюнкций, конъюнкций и инверсий.

Нахождение минимального представления функции в виде ДНФ или КНФ связано с решением двух основных задач. Во-первых, это определение конъюнкций (дизъюнкций), входящих в ДНФ (КНФ), каждая из которых содержит минимальное число букв. Во-вторых, это определение ДНФ (КНФ), содержащей ми­нимальное число различных элементарных конъюнкций (дизъ­юнкций).

Основные понятия и определения, используемые при минимизации

При минимизации переключательных функций существен­ную роль играют понятия импликанты, простой импликанты, имплиценты и простой имплиценты. Пусть f(x), g(x), p(x) – полностью определенные функции, причем под x понимается не­который набор из n переменных (х1х2...хn). Функция f(x) опреде­лена на рабочих (единичных) наборах M1[f(x)] и множестве зап­рещенных (нулевых) наборовM0[f(x)]. Функция g(x) определена на множестве рабочих (единичных) наборов M1[g(x)], а функция р(х) — на множестве запрещенных (нулевых) наборов М0[р(х)].

Переключательная функция g(x) называется импликантой переключательной функции f(x), если множество рабочих (еди­ничных) наборов функции g(x) совпадает или является подмно­жеством множества рабочих наборов функции f(x), т. е. M1[g(x)]   M1[f(x)], где   – знак включения в множество, означающий, что всякий элемент левого множества является элементом правого множества. При этом говорят, что M1[f(x)] содержит M1[g(x)], т. е. в соответствии с определением импликации g(x) f(x).

Сокращенная ДНФ переключательной функции называется тупиковой, если в ней отсутствуют лишние простые импликанты.

Устранение лишних простых импликант из сокращенной ДНФ переключательной функции не является однозначным про­цессом, т. е. переключательная функция может иметь несколько тупиковых ДНФ.

Тупиковые ДНФ, содержащие минимальное число букв, яв­ляются минимальными.

Минимальных ДНФ тоже может быть несколько. Минималь­ная ДНФ функции, найденная путем построения и перебора всех тупиковых ДНФ и выбора из них самой минимальной, называет­ся общей(абсолютной) тупиковой ДНФ.

Поиск минимальной ДНФ всегда связан с перебором реше­ний. Существуют методы уменьшения перебора, но он всегда имеется. Как правило, ограничиваются нахождением одной или нескольких тупиковых ДНФ, из которых выбирают минимальную – ее называют частной минимальной ДНФ и считают близкой к общей (абсолютной).

При минимизации не полностью определенных переключа­тельных функций особенностью является то, что необходимо найти такое ее доопределение за счет условных наборов, которое соответствует минимальной ДНФ, содержащей наименьшее число букв.

Б И Л Е Т № 21

1. Тройные и -кратные интегралы. Замена переменных в - кратном интеграле.

2. Конечные автоматы. Описание конечных детерминированных автоматов таблицами переходов-выходов и графами. Автоматы Мили, Мура и комбинационные.