5 Планирование эксперимента, получение математической модели и оптимизация параметров технологического процесса

При составлении математической модели процесса следует вначале построить матрицу плана. К сожалению, MS Exсel не обладает встроенными функциями и процедурами, позволяющими автоматически генерировать матрицу эксперимента с учетом принципов ортогональности и ротатабельности. Поэтому алгоритм действий при оптимизации параметров технологического процесса имеет следующий вид:

Определение параметров, входящих в задачу оптимизации
Выбор формы математической модели
Составление математической модели
Определение необходимых исходных данных
Решение задачи оптимизации

Дальнейшее рассмотрение задачи оптимизации параметров технологического процесса рассмотрим на следующем примере.

Пример. Получить математическую модель ориентационного вытягивая полиэфирной текстильной нити, связывающую ее относительную прочность с условиями вытягивания (см. таблицу 5.1). Определить необходимые условия вытягивания нити, увеличивающие прочность волокна на 20-30%.

Таблица 5.1− Факторы, их нулевые уровени и интервалы варьирования

Фактор	Обозначение	Нулевой уровень	Интервал варьирования
Температура утюга	х1	135	15
Температура барабана	х2	75	5
Кратность вытяжки	х3	3,7	0,3

Решение. Составим план проведения эксперимента для получения математической модели рассматриваемого процесса. Выбираем двухуровневый полный факторный план и составляем матрицу планирования эксперимента с использованием кодированных факторов. Вносим экспериментальные данные. В случае повторения опытов находим среднее значение выходного параметра, а также его дисперсию в каждом опыте (см. таблицу 5.2).

Таблица 5.2 − Матрица планирования двухуровневого ПФЭ

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M
1	№	х1	х 2	х 3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3	yn1	yn2	yn3	Yср	d2y
2	1	1	1	1	1	1	1	1	55,4	54,6	55,9	55,3	0,430
3	2	-1	1	1	-1	-1	1	-1	51,2	53,0	52,7	52,3	0,930
4	3	1	-1	1	-1	1	-1	-1	52,1	52,3	52,7	52,4	0,093
5	4	-1	-1	1	1	-1	-1	1	49,0	50,0	49,6	49,5	0,253
6	5	1	1	-1	1	-1	-1	-1	48,5	49,4	48,6	48,8	0,243
7	6	-1	1	-1	-1	1	-1	1	47,9	47,6	47,1	47,5	0,163
8	7	1	-1	-1	-1	-1	1	1	46,2	45,1	46,0	45,8	0,343
9	8	-1	-1	-1	1	1	1	-1	45,3	45,8	44,9	45,3	0,203

Для определения коэффициентов математической модели процесса выделим интервал A11:H15 и, поместив в ячейку A11 формулу =ЛИНЕЙН(L2:L9;B2:H9;ИСТИНА;ИСТИНА), нажмем на сочетание клавиш <Shift>+<Ctrl>+<Enter>. Полученный результат представлен в таблице 5.3.

Таблица 5.3 − Определение коэффициентов математической модели

процесса

	A	B	C	D	E	F	G	H
11	-0,088	0,054	0,513	0,129	2,754	1,371	0,946	49,621
12	0	0	0	0	0	0	0	0
13	1	0	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
14	0	0	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
15	85,193	0,000	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д

Таким образом, уравнение полученной зависимости имеет вид

y = 334,111-2,350x₁-3,243x₂-78,694x₃+0,024x₁x₂+

+0,608x₁x₃+0,853x₂x₃-0,006x₁x₂x₃.

Выполним проверку дисперсий выходного параметра на однородность, Определим величины дисперсий воспроизводимости результатов, дисперсий коэффициентов уравнения, а также рассчитаем среднеквадратичную ошибку определения коэффициентов (см. таблицу 5.4).

Таблица 5.4 − Проверка дисперсий выходного параметра на однородность, определение дисперсий коэффициентов и среднеквадратичных ошибок определения коэффициентов

Gрасч	Gтабл	Результат
0,350	0,51	Однородны
d20	d2b	db
0,3325	0,0416	0,2039

Определение значимости коэффициентов проведем с использованием функции СТЬЮДРАСПОБР (см. таблицу 5.5)

Таблица 5.5 − Проверка значимости коэффициентов и адекватности модели

Проверка значимости коэффициентов
	х1	х 2	х 3	х1х2	х1х3	х2х3	х1х2х3
ti	4,64	6,72	13,51	0,63	2,51	0,27	0,43
t табл	2,12	2,12	2,12	2,12	2,12	2,12	2,12
Знач.	Да	Да	Да	Нет	Да	Нет	Нет
Проверка на адекватность
R2 = 1
Модель адекватна
y = 49,62+0,95x1+1,37x2+2,75x3+0,51x1x3

Таким образом, приведенная выше математическая модель адекватно описывает зависимость прочности полиэфирной текстильной нити от условий ее вытягивания (температуры утюга, температуры барабана и кратности вытяжки).

Проведем оптимизацию условий вытягивания с целью повышения прочности нити. Используя методику, приведенную в первой части данного конспекта лекций, определим базовый фактор и численные значения изменения других факторов. Для этого выполним следующие расчеты (см. таблицы 5.6 и 5.7).

Таблица 5.6 − Выбор базового фактора и расчет шагов

	A	B	C	D	E	F	G
24		хi0	xi		х1	х 2	х 3
25	х1	135	15	bi	0,95	1,37	2,75
26	х 2	75	5	bi*xi	14,25	6,85	0,825
27	х 3	3,7	0,3	hi	14	6,73	0,811

Таблица 5.7 − Алгоритм расчета шагов факторов

	A	B	C	D	E	F	G
24		хi0	xi		х1	х 2	х 3
25	х1	135	15	bi	0,95	1,37	2,75
26	х 2	75	5	bi*xi	=E25*C$25	=F25*C26	=G25*C27
27	х 3	3,7	0,3	hi	=ОКРУГЛВНИЗ(E26;0)	=E27*F26/E26	=E27*G26/E26

Полученные значения кодированных факторов, а также их изменения в дальнейшем используются для определения величин параметра оптимизации при движении по поверхности отклика с использованием полученной ранее математической модели. Результаты расчетов приведены в таблице 5.8.

Таблица 5.8 − Текущие значения факторов и результаты оптимизации

№  опыта	Уровни факторов						Параметр оптимизации
	Натурал. значение			Кодиров. значение
	х1	х 2	х 3	х1	х 2	х 3	y
9	149	81,73	4,51	0,93	1,35	2,70	61,08
10	163	88,46	5,32	1,87	2,69	5,40	75,13
11	177	95,19	6,13	2,80	4,04	8,11	91,76
12	191	101,9	6,94	3,73	5,38	10,81	110,97

Оптимальное значение параметр оптимизации принимает в опыте №11. Таким образом, в точке 11 необходимо выполнить натурный эксперимент для проверки условия: является ли точка 11 частным экстремумом функции отклика, либо линейное уравнение в указанной точке неадекватно.