5. Складання диференційного рівняння сак з урахуванням корекції

Складаємо диференційне рівняння САК з урахуванням корекції. Передатну функцію всієї розімкнутої системи будемо визначати шляхом еквівалентних перетворень:

Тоді нове значення передатної функції розімкненої САК буде мати наступний вигляд:

Перейдемо з розімкненої САK до замкненої. Як зазначалося в попередніх розрахунках (див. пункт 2), передатну функцію замкненої системи керування можна виразити двома способами:

та .

Після відповідних перетворень отримаємо вираз для знаходження диференційного рівняння САК з врахуванням коригуючої ланки:

;

Диференційне рівняння системи автоматичного керування з врахуванням корекції:

6. Визначення критичного значення коефіцієнта зворотного звя’зку з умов стійкості за Гурвіцем

де

.

Зробимо заміну :

Складаємо квадратну матрицю коефіцієнтів, яка містить 4 строки та 4 стовпця.

На основі критерія Гурвіца для рівнянь четвертого порядку необхідно, щоб були додатними всі коефіцієнти матриці, а також виконувалась умова:

, тобто можна скласти систему нерівностей:

Розв’язавши цю систему отримаємо . Тобто при значенні коефіцієнта підсилення коригувальної ланки система буде знаходитися на границі стійкості.

7. Побудова асимптотних лачх та фчх розімкненої сак

Передатна функція розімкненої системи з урахуванням корекції :

Визначимо постійні часу та відповідні їм частоти:

Графіки асимптотичних ЛАЧХ та ЛФЧХ та будуємо за допомогою системи MatLab (див. рис.5 та рис.6):

w=0:0.000001:01;

p=j*w;

W=(17895.*p+78.8)./(34.5*p.^4+123.8*p.^3+29.9*p.^2+p);

P=real(W);

Q=imag(W);

A=20*log10(sqrt(P.^2+Q.^2));%визначення амплітуди в логарифмічному масштабі

plot(w,A);

title('LACH');

ylabel('Amplitude(db)');

xlabel('w');

grid on;

Рис.5 Логарифмічна амплідудно-частотна характеристика розімкненої системи

w=0:0.0001:0.9;

p=j*w;

W=(17895.*p+78.8)./(34.5*p.^4+123.8*p.^3+29.9*p.^2+p);

P=real(W);

Q=imag(W);

f=atan(Q./P);%визначення фазового зсуву

plot(w,f);

title('PCH');

ylabel('phase(deg)');

xlabel('w');

grid on;

Рис. 6 Фазо-частотна характеристика розімкненої системи

8. Побудова годографа Михайлова для скорегованої сак

Характеристичний поліном скорегованої САР при :

Для того щоб система була стійкою, необхідно, щоб повний приріст аргумента ψ(ω) при зміні частоти ω від 0 до ∞ дорівнював n , де n це порядок полінома D(p). Для побудови годографа Михайлова, виділимо дійсну та уявну частини характеристичного поліному D(p) та побудуємо їх залежність. Обчислення виконаємо у програмі Matlab:

w=0:0.001:10;

p=j*w;

D=1+(17895*p+78.8)./(34.5*p.^4+123.88*p.^3+29.9*p.^2+p)

Re=real(D);

Im=imag(D);

plot(Re,Im);

title('Godograf Mihailova');

ylabel('Im');

xlabel('Re');

g rid on;

Рис. 7 Годограф Михайлова для системи з корегувальною ланкою

З графіку видно, що годограф Михайлова (див. рис.7) починається на дійсній додатній півосі і обходить проти годинникової стрілки всі чотири квадранти та послідовно, тобто при ω → 0 приріст аргумента буде рівний 2π.

А оскільки розрахована САК з коригувальною ланкою має четвертий порядок, то на основі критерію Михайлова можна зробити висновок, що САК є стійкою.