36. Частотний критерій Михайлова.

, де , тоді виділ дійсну і уявну частину . Будуємо годограф Михайлова. (АФЧХ) на комплексній площині змінюється від 0 до . .

Критерій Михайлова:

Система стійка, якщо годограф починається на дійсній додатній півосі, огинає проти годинникової стрілки початок координат, проходячи послідовно n – квадрантів (четвертей), де n порядок характеристичного рівняння.

Виходячи з отриманих результатів можна зробити висновок, що система стійка оскільки: годограф починається на дійсній додатній півосі, огинає проти годинникової стрілки початок координат, проходячи послідовно 3 четверті, при порядку характеристичного рівняння n=3; всі 3 корені рівнянь і дійсні та чергуються ( ); при виконуються умови і .

37. Частотний критерій Найквіста.

Базується на частотних характеристиках розімкнутого кола системи і дає правила згідно яких по вигляду частотної характеристики розімкнутого кола оцінюється стійкість замкнутої системи.

1. Система стійка в розімкнутому стані

Розглянемо передаточну функцію: , . Одержим АФЧФ і будуємо АФЧХ.

Якщо розімкнуте коло системи стійке то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб АФЧХ розімкнутого кола не охоплювала точку з координатами .

- система стійка, але стійкість порушується при зростанні спільного коефіцієнта підсилення розімкнутого кола.

Система стійка, але стійкість порушується як при збільшені так і при зменшені коеф підсилення розімкнутого кола. Система буйде нестійкою, якщо буде охоплювати „одиницю”.

38. Визначення стійкості по лчх.

Система стійка в розімкнутому стані, і тоді для стійкості системи в замкнутому стані логарифмічна амплітудна характеристика розімкнутого кола повинна перетинати вісь абцис раніше ніж фаза перейде кінцево через значення .

Або іншими словами на частоті величина абсолютного значення фази повинна бути менше .

Для стійкості системи в замкнутому стані при додатній логарифмічній амплітудній характеристиці, число переходів ЛФХ рівня знизу догори повинно бути більше числа перет згори донизу.

l – кількість коренів додатньої дійсної частини. При цьому початок характеристики в нескінченно віддаленій точці на лінії рахується за половину переходу. , .

39. D-розбивання площини одного комплексного параметра.

Для побудови границі Д-розбивання по якому-небудь одному параметру необхідно:

1. Розв’язати характеристичне рівняння відносно параметру, тобто привести до виду: , звідки де - параметр значення якого змінюється для забезпечення стійкості.

2. Провести заміну і виділити дійсну і уявну частину, тобто звести рівняння до виду: .

3. Відкладають по осі U та V відпоповідні значення для різних значень від 0 до і будують криву границі області стійкості.

4. Доповнюють цю криву її дзеркаальним відображенням відносно осі U. .

5. Рухаючись по кривій від точки яка відповідає , до точки де заштриховують ліву частину кривої.

Правило:

Якщо в якій-небудь точці площини відповідає характеристичне рівняння, яке має k-коренів зліва і при переході до іншої точки крива перетинається з незаштрихованої сторони в заштриховану, то цій новій точці відповідає характеристичне рівняння, що має з лів від уявної осі k+1 коренів, якщо штриховка одинарна. Jk+2 якщо штриховка подвійна. І навпаки, якщо ми переходимо з заштрихованої в незаштриховану, то втрачаєм лівий корень.

Якщо в деякій точці А площини відповідає характеристичне рівняння, що має k- коренів з ліва від уявної осі і якщо з цієї точки можна попасти в точку В перетинаючи границю Д-розбивання, Z₁ раз з сторони штриховки і Z₂ – рази з незаштрихованої сторони, то точці В відповідає характеристичне рівняння, що має лівих коренів і правих коренів.

Приклад:

Д-розбиття – це розбивання простору коефіцієнтів характеристичного рівняння, або параметрів системи на області, які відповідають одному і тому ж числу коренів розміщених зліва від уявної осі.

Записуємо характеристичне рівняння:

Позначивши запишемо характеристичне рівняння в наступному вигляді:

Записуємо рівняння у наступному вигляді:

Робимо заміну , прирівнюємо характеристичне рівняння до нуля і виражаємо :

Домножаємо чисельник і знаменник на j і виражаємо дійсну та уявну частини:

Враховуючи що:

а₀=2,102∙10^-3; а₁=0,202; а₃=990,712; К₂=320; К₃=33,333;

Запишемо:

Будуємо область стійкості:

Будуємо криву для , дзеркально відображаємо її від дійсної осі та заштриховуємо ліву частину, рухаючись від точки до

ІІІ

.

40. Д-розбивання площини двох дійсних параметрів.

.

При побудові границі Д-розбивання дотримуються таких правил:

Першим пишуть рівняння , другим: , вісь вісь абцис, а по осі ординат - . . , , , . , . Може бути прямі співпадають між собою: , . Пряма при або при і прямі або наз прямою особливою прямою.

, , , то . То звідси визначаємо особливу пряму. Якщо , коли , .

Правила штриховки:

Якщо рухатися по границі Д-розбиття, то вона штрихується зліва по тих точках для яких , і з права коли , точки по кривій пробігають двічі.

Один раз при зміні від 0 до ∞ (0; ∞).

Другий раз при зміні від -∞ до 0, так як знак ∆ змінюється в точках , або , то крива штрихується з однієї сторони. Особливі прямі, як правило проходять через точки і . Ці прямі необхідно штрихувати так, щоб поблизу уперетину прямої і кривої їх заштриховані і незаштриховані сторони були напрямлені одна до одної, а дальше напрям штриховки не змінювався.

Якщо з них ∆ змінюється в точці і , і , то через цю точку на кривій проходить особлива пряма, яка штрихується подвійною штриховкою.

Якщо при тих же умовах , але зростом знак не змінюється, то особлива ряма, яка проходить через точку не штрихується і взагалі виключається з розгляду.

Якщо для всіх значень , то границею Д-розбивання є тільки особливі прямі.