Tаблица 2. Расчетные выражения для составляющих формул (28,29).

Форма тела	Граничные условия	n	An	Un	Un	в	c	c-	d
П Л	I рода: tR=const	(2n-1)		cos (n )		0	0	0	1
А С	II рода: q =  = const	n	-	- // -	0	1			-
Т И Н А	III рода: - =  (tR - tcp.)  = const tcp. = const	Корни уравнения ctg		- // -		0	0	0	1
Ц И	I рода	Корни уравнения J0()=0		- // -		0	0	0	1
Л	II рода	Корни уравнения J1 (µ)=0		- // -	0	2			-
И Н Д Р	III рода	Корни уравнения		0 : J0(µn ) ; =0: J0(0)= 1		0	0	0	1
С Ф	I рода	n		0: sinn  =0: n		0	0	0	1
Е Р	II рода	Корни уравнения tg = 		- // -	0	3			-
А	III рода	Корни tg=		- // -		0	0	0	1

J_0, J₁ - функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка.

*). Численный эксперимент показал, что для абсолютной сходимости ряда типа требуется 610³ членов ряда. ( В решениях каждый член ряда умножается на exp ( -_n² F₀) и столько членов ряда не надо).

Для расчета температурных полей, среднеинтегральных температур в пластине, цилиндре, шаре при граничных условиях ɪ, ɪɪ,ɪɪɪ рода есть программа HEAT2 для персонального компьютера на Фортране [6]. Вычисления с целью обобщения проводятся сначала в безразмерных значениях координат и времени (- F₀), затем в размерных.

При охлаждении (нагревании) тел конечных размеров: параллелепипедов(кубов), цилиндров конечных размеров и прямоугольных стержней, можно рассматривать их как тела, образованные пересечением взаимно перпендикулярных соответственно трех пластин, цилиндра и пластины и двух пластин неограниченных размеров, но конечной толщины. Решения таких задач представляются в форме произведения безразмерных температур для тел неограниченных размеров, в результате пересечения которых образовалось рассматриваемое тело. Так, для ограниченного цилиндра высотой 2L и радиуса R распределение температур (z,r,) получается перемножением решений для неограниченных пластины толщиной 2L и цилиндра радиуса R

 =1- [ 1- [_пл(z,)  1-_ц(r,) . … (30)

Если граничные условия переменны во времени (переменная температура поверхности, переменный тепловой поток, переменная температура среды, например, суточные колебания температуры окружающей среды), то решения находятся с использованием интегрального уравнения типа свертки (теорема Дюамеля) 1,2

=^ɪ·F_нач. + ^ɪ * F^r , … (31)

где

^ɪ- решение при единичном воздействии F1;

 - решение при воздействии F=F();

r - символ производной по времени;

_* - символ свертки:  _*  =()_*()= (-)()d=_*.

При аналитически простых воздействиях решение (31) может быть найдено аналитическим путем, при сложных воздействиях - численным интегрированием, например по программе TEZIS (температурные задачи, интегралы свертки) 4,5. Эта программа решает и обратные задачи теплопроводности (восстановление F или ^ɪ). Эти задачи труднорешаемы, но решаемы с применением специальных алгоритмов.

Для прямых задач при численном интегрировании по формуле прямоугольников на равномерной временной сетке (31) получает вид

(_i) = ^ɪ(_i-_j)  F(_j+1-_j) … (32)

( i , j - 0,1,2,3, …).