§ 9. Производная по направлению. Градиент

П усть заданы функция , точка , и вектор . Рассмотрим точку , где .

Опр. Производной функции по направлению вектора называется .

Удобно работать с вектором , например, Тогда . Аналогично для функции трех переменных , , .

Т 7. (О производной по направлению): Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке производную по любому направлению и .

Д-во. .

Замечание. Обращение Т.7 неверно, т.е., если имеет в данной точке производную по любому направлению, то из этого еще не следует, что она дифференцируема в этой точке.

Опр. Вектор наз. градиентом функции в точке (от лат. gradient(is) – шагающий).

В точке .

ПР. , .

Установим связь между производной по направлению и градиентом в точке: , где , .

Если , то . Если , то неравенство строгое, кроме случая .

Вывод: дает направление наискорейшего роста функцции и .

ПР. Найти производную ф-ции в точке в направлении, образующем с осями координат углы соответственно .

Решение: , , , , , .

Рассмотрим производную по направлению оси . Тогда , . Аналогично: если , то ; если , то .

§ 10. Экстремумы функции 2-х переменных

Опр Точка наз. точкой локального max (min) функции , если : выполнено неравенство .

Опр. Точки локальных min и max наз. точками локальных экстремумов ф-ции.

Т.8. (Необходимое условие экстремума) Если функция достигает в точке локального экстремума и имеет в этой точке частные производные , то .

Д-во. Зафиксируем . Тогда – функция 1-й переменной. – точка экстремума, следовательно, . Аналогично доказываем, что .

Замечание. Для : если – точка локального экстремума ф-ции и , то .

ПР. , , – точка локального min.

ПР. , , – нет экстремума (седло).

Опр. Точки наз. стационарными.

Пусть – стационарная точка функции и функция имеет в этой точке. Обозначим: , , , .

Т.9. (Достаточные условия экстремума) Пусть – стационарная точка функции и функция имеет в окрестности этой точки непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно. Тогда:

1) если , то – точка локального max;

, то – точка локального min;

2) если , то в нет локального экстремума.

Замечание. Если , то требуется дополнительное исследование.

ПР ,

1) .

2) .

– в -т. лок. min.

.

§ 11. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Постановка задачи: найти , , где – некоторая замкнутая обл-ть.

– замкнутая, следовательно, ей принадлежат все ее граничные точки. Для граница – непрерывная линия.

Схема решения задачи:

1. найти стационарные точки функции : из них выбрать те, которые ;

2. исследовать границы области. Т.е., если граница имеет уравнение , , то подставить в функцию : ; исследовать ее, как функцию 1-ой переменной при . Для этого найти точки + + .

3) во всех точках, полученных в 1) и 2) вычислить значения функции . Из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

П Р. ; .

1. ;

2. исследуем границы:

   1. : , ;

   2. : , ;

   3. .

3. ; ;

;

;

.