Глава 9. Функции нескольких переменных.

В основном будут ф-ции 2-х переменных, для n переменных – аналогично.

§ 1. Понятие области

Рассмотрим плоскость . Возьмем точку .

Опр. Множество точек : , , называется открытым кругом радиуса a с центром .

О пр. - окрестностью точки называется открытый круг радиуса с центром .

Опр. Точка наз. внутренней точкой множества , если .

О пр. Множество D наз. открытым, если все его точки внутренние.

Опр. Точка наз. граничной точкой множества D, если в любой ее - окрестности есть точки, принадлежащие , и точки, не принадлежащие .

Опр. Множество D, содержащее все свои граничные точки, называется замкнутым.

Опр. Расстоянием от точки до точки наз. .

Пусть .

Опр. Множество D наз. ограниченным, если .

Опр. Множество D наз. связным, если существует непрерывная линия, соединяющая их и целиком лежащая в .

Опр. Открытое связное множество D будем называть областью в .

Замечание: Для : , , , , -окрестность: .

§ 2. Понятие функции нескольких переменных

Опр. Если каждой паре значений 2-х независимых переменных из некоторой области соответствует одно определенное значение , то говорят, что есть функция двух независимых переменных : .

Опр. Совокупность пар , для которых определяется , наз. областью определения функции двух переменных.

ПР. .

ПР. (замкнутый круг).

ПР. .

ПР. , (открытый круг).

Геометрическое изображение: – поверхность в .

ПР. - параболоид вращения.

О пр. Линией уровня функции наз. множество точек плоскости xOy, в которых функция принимает одно и то же значение: .

Для :

Опр. Пусть . Если соответствует одно определенное значение , то говорят, что задана функция переменных: . – ее область определения.

Опр. Поверхностью уровня функции наз. множество точек : .

ПР. , , поверхности уровня – сферы.

§ 3. Предел и непрерывность ф.Н.П.

Опр. Пусть функция определена в некоторой -окрестности точки за исключением, быть может, самой точки . .

Замечание. , независимо друг от друга

ПР .

Опр. Функция наз. непрерывной в точке , если и .

Опр. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, наз. непрерывной в этой области.

ПР. , – линия разрыва.

ПР. , – точка разрыва. Рассмотрим вдоль прямых . – зависит от .

Свойства непрерывных ф.н.п.

Аналогичны свойствам непрерывных ф.о.п.

Пусть − замкнутая ограниченная область, − непрерывная в функция. Тогда:

1. ограничена в D, т.е. ;

2. достигает в D своего наибольшего и наименьшего значения, т.е. ;

3. принимает все значения между своими наименьшим и наибольшим, т.е. ;

4. если , то . (Следует из 3)

§ 4. Частные производные

П усть , , , .

Составим частные приращения функции : по x: , по y: .

Опр. Частной производной функции по переменной x наз. (если предел ).

Опр. Частной производной функции по переменной y наз. (если предел ).

Для функции n переменных понятие частной производной вводится аналогично.

Замечание. Частная производная функции нескольких переменных вычисляется в предположении, что меняется лишь один аргумент, а остальные постоянны.

Опр. Частными дифференциалами наз. , .

ПР. .

ПР. .

Т.к. и – функции 2-х переменных, то можно говорить об их частных производных: , , , и т.д.

Т. 1. (О смешанных производных) Если функция и ее частные производные , , , определены в точке , причем и – непрерывны в ней, то .

ПР.