Завдання 6

Скласти математичну модель екстремальної задачі лінійного цілочислового програмування з метою визначення оптимального плану (змінні можуть приймати тільки натуральні значення). Розробити схему алгоритму та програму знаходження максимального (мінімального) значення цільової функції при заданих обмеженнях. Вивести початкові дані та результати обчислень. Привести математичну модель, схему алгоритму, лістинг програми, контрольний приклад.

В.1. Для задоволення потреб заводу щодоби надходить 120 т сировини. Для роботи першого цеху потрібно не менше 20 т сировини, другого – не менше 30 т сировини, а третього – не менше 35 т. Вартість постачання 1 т сировини у перший цех дорівнює 130 грн., у другий – 150 грн., а у третій 170 грн. Визначити, скільки тонн сировини необхідно доставити у кожен цех, щоб витрати були найменшими.

В.2. На нафтопереробний завод надходить 24 т нафти. Для добової безперебійної роботи першого цеху потрібно подати в резервуари не менше 6 т, а другого – не менше 8 т нафти. Вартість постачання 1 т нафти у перший цех дорівнює 120 грн., а в другий – 140 грн. Визначити, скільки тонн нафти необхідно подати у кожен цех, щоб витрати були найменшими.

В.3. У швейному цеху працюють 12 робітників, кожен з яких щодня працює 8 год. Виділені ресурси: 64 м матерії, 102 кВт год. електроенергії. План реалізації: не менше 10 дитячих костюмів і не менше 15 костюмів для дорослих. На пошиття 1 дитячого костюма витрачається 2 м матерії, 3 кВт год. електроенергії і 3 год. робочого часу робітника, а на пошиття 1 костюма для дорослого – 3 м матерії, 4 кВт год. електроенергії і 4 год. робочого часу робітника. Від реалізації дитячого костюма швейний цех отримує прибуток у сумі 200 грн., від реалізації костюма для дорослого – 400 грн. Визначити, випуск яких костюмів потрібно запланувати, щоб прибуток від їхньої реалізації був найбільшим.

В.4. Для перевезення вантажу 48 т гараж може використовувати автомобілі вантажопідйомністю 3, 4 і 6 т. Тритонних автомобілів можна виділити не менше 5, чотиритонних – не більше 8, шеститонних – не більше 5. Виділений об’єм бензину дорівнює 300 л. На один рейс кожен тип автомобіля витрачає відповідно 10, 15 і 20 л бензину. Вартість перевезення 1 т вантажу кожним типом автомобіля відповідно дорівнює 150, 175 і 125 грн. Визначити, скільки таких автомобілів потрібно виділити, щоб витрати були найменшими.

В.5. У колгоспі є 60 т мінеральних добрив. На перше поле потрібно вивести не менше 20 т добрив, на друге – не менше 10 т, а на третє – не менше 15 т. Вартість перевезення 1 т добрив на перше поле дорівнює 150 грн., на друге – 170 грн., а на третє – 190 грн. Визначити, скільки тонн мінеральних добрив необхідно вивезти на кожне поле, щоб витрати були найменшими.

В.6. Для виготовлення виробів двох видів є 100 кг металу. На один виріб першого виду необхідно витрати 2 кг, а на один виріб другого виду – 4 кг металу. Скласти план виробництва, що забезпечуватиме одержання найбільшого прибутку від продажу виробів, якщо відпускна вартість одного виробу першого виду становить 30 грн., а одного виробу другого виду – 20 грн., причому виробів першого виду потрібно виготовити не більше 40, а виробів другого виду – не більше 20.

В.7. Виробнича потужність складального цеху становить 120 виробів типу А і 360 виробів типу В на добу. Технічний контроль пропускає на добу 200 виробів того або іншого типу (не має значення якого). Вироби типу А вчетверо дорожчі від виробів типу В, одиниця яких коштує 50 грн. Потрібно спланувати випуск готової продукції так. Щоб підприємство отримало максимальний прибуток.

В.8. Для виготовлення виробів двох видів склад може відпустити металу не більше 80 кг, причому на виріб першого виду необхідно витратити 2 кг, а на виріб другого виду – 1 кг металу. Слід спланувати виробництво так, щоб був отриманий найбільший прибуток, якщо виробів першого виду потрібно виготовити не більше 30 одиниць, а виробів другого виду – не більше 40 одиниць, причому один виріб першого виду коштує 50 грн., а один виріб другого виду – 30 грн.

В.9. Для відгодівлі тварин використовують два види кормів. Вартість 1 кг корму першому виду дорівнює 5 грн., а корму другого виду – 2 грн. У кожному кілограмі корму першого виду міститься 5 од. поживної речовини А, 2,5 од. поживної речовини Б і 1 од. поживної речовини В, а в кожному кілограмі корму другого виду – відповідно 3,3; 2 і 1,3 од. Визначити, яку кількість корму кожного виду потрібно витрачати щодня, щоб витрати на відгодівлю були мінімальними, якщо добовий раціон передбачає вміст поживних одиниць типу А у кількості не менше 225 од., типу Б – не менше 150 од. і типу В – не менше 80 од.

В.10. Для задоволення потреб заводу щодоби надходить 130 т сировини. Для роботи першого цеху потрібно не менше 30 т сировини, другого не менше 25 т сировини, третього – не менше 15 т. Вартість постачання 1 т сировини у перший цех дорівнює 150 грн., у другий -140 грн., а у третій – 170 грн. Визначити, скільки тонн сировини потрібно доставити у кожен цех, щоб витрати були найменшими.

В.11. Для пошиття виробів двох видів є 100 м матерії. На один виріб першого виду необхідно витратити 3 м матерії, а на один виріб другого виду – 7 м. Скласти план виробництва, що забезпечуватиме одержання найбільшого прибутку від продажу виробів, якщо відпускна вартість одного виробу першого виду становить 100 грн., а одного виробу другого виду 250 грн., причому виробів першого виду потрібно виготовити не більше 20, а виробів другого виду – не більше 10.

В.12. У цеху працюють 20 робітників, кожен з яких у середньому за рік працює 1800 год. Виділені ресурси: 32 т металу, 54 тис. кВт год. електроенергії. План щодо реалізації: не менше 2 тис. виробів А і не менше 3 тис. виробів Б. На випуск 1 тис. виробів А потрібно витратити 3 т металу, 3 тис. кВт год. електроенергії, 3 тис. год. робочого часу, а на випуск 1 тис. виробів Б – 1 т металу, 6 тис. кВт год. електроенергії і 3 тис. год. робочого часу. Від реалізації 1 тис. виробів А завод отримує прибуток у сумі 50 тис. грн., а від реалізації 1 тис. виробів Б – 70 тис. грн. Визначити, випуск якої кількості виробів А та Б (тис. штук) потрібно запланувати, щоб прибуток від їхньої реалізації був найбільшим.

В.13. Фабрика виготовляє два види фарб: I – для внутрішніх і Е – для зовнішніх робіт. Для виробництва фарб використовується два види вихідних продуктів – А і В. Максимально можливі добові запаси цих продуктів складають 18 т і 20 т відповідно.

Вихідний продукт	Витрати вихідних матеріалів (т) на тонну фарби
	Фарба Е	Фарба І
А	1	2
В	2	1

Вивчення ринку збуту показало, що добовий попит на фарбу І ніколи не перевищував попиту на фарбу Е більш ніж на 1 тонну. Попит на фарбу І ніколи не перевищує 12 тонн за добу. Оптові ціни 1 т фарби дорівнюють: 30 тис. грн. для фарби Е; 20 тис. грн. для фарби І . Яка кількість фарби кожного виду за добу повинна виробляти фабрика, щоб прибуток від реалізації продукції був максимальним?

В.14. Для виробництва двох видів виробів А і В використовується токарське, фрезерне і шліфувальне устаткування. Норми витрат часу, фонд робочого часу, а також прибуток від реалізації наводяться в таблиці:

Тип устаткування	Витрати часу на обробку одного виробу		Загальний фонд корисного часу устаткування, г
	А	В
Фрезерне	10	8	168
Токарське	5	10	180
Шліфувальне	6	12	144
Прибуток від реалізації одного виробу, грн.	140	180

Знайти план випуску виробів А і В, що забезпечує найбільший прибуток від їх реалізації

В.15. Підприємство має три види сировини, і може випускати одну й ту ж продукцію двома способами. При цьому за 1 годину роботи першим способом випускається 20 од. продукції, а другим – 30 од. продукції. Кількість сировини (кг) того чи іншого виду, що витрачається за 1 годину при різних способах виробництва, і запаси сировини (кг) наведені в таблиці:

Спосіб виробництва	Сировина
	1	2	3
І	10	20	15
ІІ	20	10	15
Запаси сировини	100	100	90

Знайти план виробництва, при якому буде випущена найбільша кількість продукції.

В,16. На звірофермі можна вирощувати чорно-бурих лисиць і песців. Для їхнього вирощування використовуються три види кормів. Щоденне споживання корму, а також загальний запас корму і прибуток від реалізації шкурок наведені в таблиці:

Вид корму	Кількість корму раціону		Загальна кількість корму
	лисиця	песець
І	2	3	180
ІІ	4	1	240
ІІІ	6	7	426
Прибуток від реалізації однієї шкурки, грн.	160	120

Визначити, скільки лисиць і песців необхідно вирощувати на фермі, щоб прибуток від реалізації хутра був максимальним.

В.17. Для виготовлення двох видів продукції Р₁ і Р₂ використовують три види сировини: S₁, S₂, S₃ відповідно до наведеної таблиці:

Вид сировини	Запас сировини	Кількість одиниць сировини на одиницю продукції
		Р1	Р2
S1	20	2	5
S2	40	8	5
S3	30	5	6
Прибуток від реалізації однієї од. продукції, грн.		500	400

Написати план випуску продукції, щоб при реалізації одержати найбільший прибуток.

В.18. Для виробництва двох видів виробів А і В підприємство використовує три види сировини: S₁, S_2, S₃. На виготовлення одиниці продукції застосовують наступні норми витрат сировини:

Вид сировини	Норми витрати сировини на один виріб (кг)		Загальна кількість сировини (кг)
	А	В
S1	12	4	300
S2	4	4	120
S3	3	12	252

Прибуток від реалізації одного виробу кожного виду відповідно дорівнює 300 і 400 грн. Враховуючи, що збут забезпечений, скласти такий план їх випуску, при якому прибуток підприємства від реалізації усіх виробів буде найбільшим.

В.19. При відгодівлі кожна тварина щодня повинна одержати не менше 9 одиниць поживної речовини S₁, не менше 8 одиниць речовини S₂ і не менше 12 одиниць речовини S₃. Для складання раціону використовують два види корму, які характеризуються даними таблиці:

Речовини	Корми
	А	В
S1	2	3
S2	3	2
S3	1	4

Вартості одиниці кормів А та В відповідно дорівнюють 40 грн. та 50 грн.

Скласти денний раціон з необхідною кількістю поживних речовин з мінімальними витратами.

В.20. Підприємство випускає дві моделі комп'ютерів, причому кожна модель виробляється на окремій технологічній лінії. Добовий обсяг виробництва першої лінії – 60 виробів, другої лінії – 75 виробів. На комп'ютер першої моделі витрачається 10 однотипних елементів електронних схем, на комп'ютер другої моделі – 8 таких же елементів. Максимальний добовий запас використовуваних елементів дорівнює 800 одиницям. Прибутки від реалізації одного комп'ютера першої і другої моделі дорівнюють 30 і 20 доларів відповідно. Визначите оптимальні добові обсяги виробництва першої і другої моделі для отримання найбільшого прибутку від реалізації продукції за добу.

В.21. На меблевій фабриці зі стандартних листів фанери необхідно вирізувати заготівлі трьох видів у кількостях не менше відповідно 240, 310 і 180 шт. Кожен лист фанери може бути розрізаний на заготівлі двома способами. Кількість одержуваних заготівель при даному способі розкрою, величина відходів при розкрої одного листа наведені в таблиці:

Вид заготівель	Кількість заготівель (шт.) при розкрої за способом
	І	ІІ
І	2	6
ІІ	5	4
ІІІ	4	5
Величина відходів, см2	12	16

Визначити, скількох листів фанери і за яким способом варто розкроїти так, щоб було отримано не менше потрібної кількості заготівель при найменших відходах.

В.22. З пункту А в пункт В щодня відправляються пасажирські і швидкі поїзди. Наявний парк вагонів, з яких комплектуються потяги, а також кількість пасажирів, що маються в кожному з вагонів, наведені в таблиці:

Потяги	Вагони
	Багажні	Поштові	Плацкартні	Купейні	М'які
Швидкі	1	1	5	6	3
Пасажирські	1	0	8	4	1
Число пасажирів у вагоні	-	-	58	40	32
Парк вагонів	14	10	80	60	30

Пропускна здатність дороги не дозволяє в день пройти більш ніж шістьом пасажирським потягам. Визначити оптимальне число швидких і пасажирських потягів, при яких число перевезених пасажирів буде найбільшим.

В.23. Два вироби в процесі виробництва проходять обробку на чотирьох верстатах I, II, III, IV. Час обробки кожного виробу на кожному з цих верстатів задається таблицею:

Вироби	I	II	III	IV
А	2	4	3	1
В	0,25	2	1	4

Верстати можна використовувати відповідно 45, 100, 300 і 500 годин. Прибутки від продажу виробу А – 60 грн. за одиницю, а виробу В – 40 грн. Виробу А потрібно в кількості не менше 22 штук. Скільки виробів А і В потрібно виготовляти, щоб отримати найбільший прибуток.

В.24. В майстерні виробляють столи і тумбочки для торгової мережі. На їх виготовлення є два види деревини: №1 – 72 м³, і №2 - 56 м³. На виробництво кожного виробу потрібно одного і другого виду деревини в кількості (м³):

Вироби	№1	№2
Столи	0,18	0,28
Тумбочки	0,09	0,08

Від реалізації одного столу майстерня одержує чистого доходу 110 грн., а від реалізації однієї тумбочки 70 грн. Визначити скільки столів і тумбочок повинна виробляти майстерня, щоб забезпечити найбільший дохід.

В.25. Виробляються вироби А і Б, при виготовленні яких використовується 2 типи устаткування С1 і С2. На виробництво одиниці виробу А устаткування С1 використовується 3 години, С2 – 2 години. На виробництво одиниці виробу Б устаткування С1 використовується 2 години, а С2 – 1 годину. На виготовлення виробів може бути виділено устаткування С1 на 25 годин, а устаткування С2 на 20 годин. Спланувати виробництво виробів А і Б так, щоб загальний прибуток був найбільший, якщо від реалізації одиниці виробу А прибуток – 250 грн., а Б – 150 грн.

В.26. Для виготовлення виробів №1 №2 №3 склад може відпустити металу не більше 80 кг., причому на виріб №1 витрачається 2 кг., на виріб №2 – 1 кг., на виріб №3 – 1,5 кг. металу. Необхідно спланувати виробництво так, щоб був забезпечений найбільший прибуток, якщо виробів №1 необхідно виготовити не більше 20 штук, виробів №2 – не більше 30 штук, виробів №3 – не більше 15 штук, причому один виріб №1 коштує 500 гривень, № 2 – 300 гривень, №3 – 400 гривень.

В.27. Три хімічні речовини А, В, С використовуються для виготовлення 3-х лікарських препаратів. Кількість хімічних речовин в грамах в одній таблетці кожного препарату приведена в таблиці. Вартість 1 таблетки І ліків – 1, ІІ – 1,8, ІІІ – 2 грн. Для виготовлення препаратів отримано речовин: А – 10 гр., В – 40 гр., С – 30 гр. Скласти план, що максимізує прибуток.

Речовина	Препарат
	1	2	3
А В С	0,7 1,3 0,1	0,2 1,1 0,7	0,4 0,0 1,0

В.28. Для побудови житлового масиву є 2 типових проектів будинків, в кожному з яких передбачено 4 типи квартир. Кількість квартир і – го типу в одному будинку j – го типу, потреби в квартирах і – го типу і вартість одного будинку в умовних одиницях кожного типу наведені у таблиці. Необхідно скласти план побудови житлового масиву, що задовольняє потреби у квартирах, і для якого витрати на будівництво будуть найменшими.

Типи квартир	Типи будинків		Потреби в квартирах
	1	2	3
1	15	20	150
2	10	15	80
3	5	10	60
4	5	5	30
Вартість	3	4

В.29. Для пошиття спідниць і суконь швейний цех має 96 м тканини. На пошиття однієї сукні витрачають 3 м тканини і 1,8 годин роботи устаткування, а на пошиття однієї спідниці – 2 м тканини і 0,6 годин роботи устаткування. Час роботи устаткування обмежений 45 годинами на тиждень. Прибуток від продажу однієї сукні становить 54 грн., а однієї спідниці – 30 грн. Визначити щотижневий план виробництва, який забезпечує найбільший прибуток від реалізації готових виробів, якщо суконь потрібно виготовити щонайбільше 20, а спідниць – щонайбільше 30.

В.30. Суховантажний пароплав може узяти на борт не більше ніж 1000 т вантажу загальним обсягом не більше, ніж 360 м³. На причалі знаходиться 900 т вугілля та 700 т залізної руди з питомим об'ємом 0,3 і 0,2 м³/т відповідно. Ціни вугілля та руди складають 0,5 і 0,2 грн./кг. Скільки необхідно завантажити вугілля і скільки руди, щоб загальна ціна вантажу була найбільшою?