2.4. Система учебных ситуаций по обучению младших школьников анализу структуры числового выражения.

Среди алгебраического материала, изучаемого в начальной школе, особое место занимает понятие числового выражения. Само являясь объектом изучения, выражение становиться важным средством овладения школьными прочными вычислительными навыками. При вычислении значений числовых выражений часто ошибки связаны с неумением учеников анализировать структуру выражения и выбирать наиболее рациональный порядок, выполнения действий. Как известно, традиционная система направлена на заучивание правил, а значит, у учащихся не возникает потребности анализировать структуру числового выражения. Структура воспринимается ими как совокупность отдельных действий, последовательность которых однозначно предопределена. В результате этого по выходу из младшей школы учащиеся сталкиваются с проблемами в средней и старшей школе, которые связаны с порядком выполнения действий в выражениях и испытывают трудности при решении уравнений. Поэтому в начальной школе необходимо ввести новый подход к изучению числового выражения.

В дипломной работе выпускницы факультета ПиМНО Волгоградского педуниверситета Шипиловой И. А. (руководитель канд. пед. наук Г. П. Максимова) разработана система учебных ситуаций по формированию понятий об исходном отношении в структуре числового выражения, а так же направленных на формирование умения анализировать процесс решения уравнений. Предметом специального изучения нового подхода является анализ структуры числового выражения. При этом способ определения порядка действий в выражении необходимо представлять как объект собственного конструирования. Результатом изучения данного материала в рамках нового подхода, следует считать сформированность у детей следующих умений:

1. выделение исходного отношения;

2. моделирование этого отношения

3. изучение свойств модели.

Единицей анализа структуры числового выражения является любой элемент (любая величина) и два действия, в которые этот элемент может вступить. Следовательно, появляется проблема: необходимо выделить исходное отношение (рис. 1). Этот элемент должен определиться – в какое из этих двух действий он включится, т. е. какое действие выполнить первым.

* а *

?

рис. 1

Так как он стоит перед выбором, то надо проанализировать все случат со сложением, вычитанием, умножением и делением и определить, какие «уступают» другим.

Для решения этой проблемы предлагается ответить на вопрос: «Влияет ли порядок выполнения действий на конечный результат?»

Рассматриваются все возможные случаи:

+ + - + · + : +

+ - - - · - : -

+ · - · · · : ·

+ : - : · : : :

Например:

3 + 5 + 8 = 3 + 5 + 8

\ / \ /

8 13

\ /

16. 1 6

Вывод: порядок выполнения действия не влияет на результат.

Из 16 возможных вариантов выделяем, т. е., которые дают отрицательный ответ на поставленный вопрос, т. е. Порядок выполнения действий не влияет на результат. Эти четыре случая имеют такой вид генетически-исходного отношения:

а ) + а + в) + а -

б ) · а · г) · а :

Причем первые два случая выполняются при любых значениях и всегда. В математике их назвали «законами». Два последних случая выполняются при определенных условиях – эти варианты назвали «свойствами».

Во всех остальных случаях мы получили положительный ответ на вопрос, и поэтому появилась необходимость договориться всем о единых правилах выполнения арифметических действий.

1. В процессе работы ребята должны уяснить, что существуют действия разных ступеней и одной ступени;

2. Если действия разных ступеней, то сначала выполняется умножение и деление, а затем сложение или вычитание (правило соподчиненности).

Если действие одной ступени, то в четырех случаях действия выполняются в любом порядке: + +; + -; · · ; · :, а в остальных слева – направо.

В случаях, когда необходимо изменить установленный порядок действий, в выражениях применяют скобки.

Например:

1 2 2 1

16 · 5 – 4 = 76 и 16 · (5 – 4) = 16

Авторами данной методики (Максимовой Г. П. и Шипиловой И. А.) была разработана система учебных ситуаций, которая позволила детям выявить и смоделировать исходное отношение в структуре числового выражения [5]. Данная система была апробирована в ходе эксперимента, который проводился на базе школ 45 и 84 г. Волгограда.

В том случае, если дети уже знакомы с правилами порядка выполнения действий, то необходимо провести диагностическое обследование с целью выявления уровня анализа структуры числового выражения. Можно провести ряд проверочных (контрольных) работ. Приведем примеры вариантов заданий, отвечающих этим целям.

Контрольная работа № 1.

Содержание:

Задание: Вычисли результат.

I вариант:

11+18-8 15 • 12 : 4

12+8-5 16•20 : 5

9+12-2 6-8:3

2+18-7 18 • 12 : 9

17+5-7 18 • 10 : 3

28+12-3 13 • 8 : 4

II вариант: аналогичные задания.

Ход выполнения задания:

Контрольная работа проводится следующим образом: каждому ученику выдается индивидуальный бланк с заданиями, к которым дети должны были записать ответы. Контрольная проводи­лась фронтально. После того, как ребята сдали свои работы с каж­дым учеником проводилась индивидуальная беседа по следующим вопросам:

1. Раздели примеры на две группы

а) где порядок действий выполняется так как он есть;

б) где нужно порядок действий изменить.

2. Какое действие выполнял в первую очередь?

а) А по другому можно было выполнить действие?

б) есть ли здесь похожие примеры?

в) если есть, то чем они похожи?

3. Придумай подобные примеры.

Вместо беседы можно предложить анкету.

По наличию выбора способа действий детей разделили условно на три уровня:

1-ый уровень: вычисления выполнялись по порядку дей­ствий — это низкий уровень. Дети реагировали только на связь между действиями — порядок слева - направо. Например, 11 + 18 – 8.

2-ой уровень: ребята изменяли порядок выполнения действий в за­висимости от особенностей чисел и в связи с этим выборность дей­ствий — средний уровень. Например, 11 + 18 – 8.

3-ий уровень: дети могут видеть возможность преобразования структуры выражения — высокий уровень. Например, 30 • 9:5= 30 : 5 • 9.

В экспериментальном классе большинство детей находится на 3-ем уровне анализа структуры чис­лового выражения. В контрольных же классах преобладает l-ый уро­вень анализа.

Эти результаты можно было использовать так: дети в контроль­ных классах не выходили на 2-ой уровень и З-ий уровень анализа по­тому, что эти задания могли быть слишком простыми и поэтому не требовали серьезного анализа структуры, поэтому мы провели вто­рую контрольную работу, для которой составили задания так, что ориентация на формальный способ определения порядка действий приводила к осложнению процесса вычисления. Напротив, поиск рационального способа давал большие облегчения в выполнении вычислительного процесса. Поэтому, во 2-ой контрольной работе мы предложили детям дополнительные задания на классификацию при­меров по уровню сложности.

Контрольная работа №2

Цель: выявление уровня анализа структуры числового выражения

в заданиях повышенной сложности.

Содержание

Задание :

1. Вычисли результат.

2. Отметь легкие и трудные примеры на твой взгляд.

72 + 43 + 18 + 57 150 • 180 : 3 : 20

2 + 96 + 98 + 904 60 • 240 : 40 • 60

45+67-17+5 4 • 120 : 240 : 80

Ход выполнения задания :

Данная контрольная работа также выполнялась на индивидуаль­ных бланках. После получения результата дети ставили слева от условия букву «Л» если считали этот пример легким и букву «Т» если считали этот пример трудным.

После решения каждому ребенку предлагалось ответить на сле­дующие вопросы:

а) Как можно выбрать порядок действий в этих примерах? Почему так?

б) А можно было решить по другому?

В контрольных классах действительно произошли изменения в уровне анализа. Количество детей на 2-м уровне возросло, однако, существенных изменений по 3-ему уровню анализа во не на­блюдалось.

После обсуждения с детьми результатов двух контрольных работ и беседы в контрольных классах о том, как и почему нужно было действовать при выборе порядка действий, мы решили провести контрольную работу №3, по уровню сложности совпадающую с кон­трольной работой №1, но отличающуюся от нее по цели для того, чтобы посмотреть, как повлияет эта беседа на результаты.

Контрольная работа №3

Цель: Выявление уровня анализа структуры числового выражения при наличии специально поставленной цели.

Содержание

Задание: Покажи, каким способом будешь вычислять результат,

не решая.

I вариант:

11+7+3

22-13-3

11+17-7

21-15+5

II вариант:

22+6+4

31-14-4

13+18-8

27-19-9

Ход выполнения задания:

Работа проводилась по вариантам, у каждого ученика был свой бланк. После выполнения работы с учащимися была проведена беседа:

1) А другие способы выполнения порядка действий?

2) А почему ты их не выделил?

Наличие в задании цели на определение порядка действий как главной, значительно влияет на результа­ты работы во всех классах. Поэтому проводить с детьми целенаправленную работу по анализу структуры числового выражения. С этой целью была разработана система учебных ситуаций, направленных на формирование умения анализировать структуру числового выражения.

1-ая учебная ситуация

Цель: обнаружить исходные отношения в анализе структурного

выражения.

Содержание

Задание: 1. Выполни примеры двумя способами.

О бразец: 2+3-4

2+3=5 3 • 4 =12

5 • 4 = 20 2 + 12 = 14

7+4+12 7-3-2

8+9-3 60: 30 :2

17-5+2 6 • 12 :4

22-7-2 32 : 8 • 5

8-2+5 10 : 5 - 2

11 + 20 : 4 25 - 30 : 3

30 : 6 + 7

2. Выпиши примеры, в которых порядок действий важен.

3. Выпиши примеры, в которых порядок действий неважен.

4. Составь подобные числовые примеры.

Ход выполнения задания:

Каждому выдавался индивидуальный бланк, на ко­тором было напечатано задание. Задание не разбивалось по вариан­там, т.к. дети выполняли его индивидуально без чьей-либо помощи.

Итог: после выполнения задания ребята легко и правильно сделали вывод:

- в выражениях образца □ + □ + □ ; □ + □ - □ ; □ · □ · □ ; □ · □ : □

порядок выполнения действий не важен, так как он не влияет на результат выражения. Ответ независимо от порядка вы­полнения действий не изменится.

Во всех остальных выражениях порядок выполнения действий очень важен, так как он влияет на результат выражения и в зависи­мости от выбора первого действия ответ изменяется.

2-ая учебная ситуация

Цель: выявить уровень самостоятельности детей при составле­нии схем.

Содержание:

Задание : Придумать схемы предыдущим примерам.

В задании оговаривалось, что схемы надо придумать к примерам, в которых порядок действий важен и к примерам, в которых поря­док действий не важен. Количество примеров на каждое задание не должно превышать трех.

Ход выполнения задания:

Срез проводился с детьми следующим образом. Каждый выпол­нял задание на индивидуальных бланках самостоятельно. Дети вы­полняли работу в течении 30 минут. Сначала с детьми провелся блок занятий на формирование умения схематически изображать решение примеров. Было оговорено, что «домиком» ( \/ ) отмечает­ся исходное отношение (т.е. действие, которое выполняется первым). Например,

10 · 2 + 3

20

23

Итог: результаты выполнения этого задания показали, что все дети научились самостоятельно составлять схемы к примерам, по­этому можно было переходить к следующей учебной ситуации.

3-я учебная ситуация

Цель: Выявить, смогут ли дети, опираясь на схемы придумать соответствующие им примеры.

Содержание:

Задание: придумай примеры, соответствующие данным схемам.

Ход выполнения задания:

Эта учебная ситуация проводилась в виде среза знаний на инди­видуальных распечатанных бланках.

Подобные задания уже проигрывались на предыдущих "рядовых"

занятиях, где подробно разбирались примеры различных видов и степеней сложности.

Итог: опираясь на работы детей, выполненных по второй и тре­тьей учебной ситуации, можно сделать вывод - навык составления схем у детей развился очень хорошо. На "рядовых" занятиях ребята работали с интересом и желанием, т.к. составление схем к числовым примерам - работа для них новая и необычная. Ребята хорошо усво­или, как схематически изображать исходные отношения. Они с лег­костью придумывают схемы к числовым примерам, а также придумывают примеры к схемам.

На втором этапе обучения в систему задач включается новая учебная задача, в процессе которой дети учатся анализировать взаимосвязь нескольких арифметических действий при различном их сочетании.

Для осознания общего способа деятельности такую работу лучше проводить на примере буквенного выражения. Данная работа включает в себя 4 уровня.

1-ый уровень. На этом уровне составляется поэтапная вычислительная программа, которая опирается на анализ исходного отношения структуры.

a : k + b · (c - m)

? ?

____________________________________________

І ступень

a : k + b · (c - m)

A + b · M

? II ступень

A + K

III ступень

C

К аждый элемент структуры может вступать в одно из возможных отношений с другим элементом ( * □ * ). К этому моменту дети без

?

труда должны выбрать необходимое отношение . здесь А, М, К – промежуточные результаты.

Чтение этого выражения начинается с конца «дерева»:

1) А К

- сумма двух элементов

С

- сумма элемента и произведение элементов b и М.

- сумма частного и произведения

Таким образом, «дерево» становится средством анализа струк­туры выражения. Такой анализ позволяет:

1) сделать осознанный выбор порядка действий;

2) при выполнении каждого отдельного действия "удерживать" всю целостность выражения (т.е. сознательно планировать и контролировать весь процесс вычисления).

Таким образом, основной задачей становится - научить строить «дерево».

Эта работа содержит ряд этапов. На данном уровне возможно провести частичное упрощение схемы:

a : k + b · (c - m)

1)

A + b · M

2)

A + K

3)

C

2-ой уровень. Затем подробная запись сворачивается и промежу­точные выражения не записываются, строится «чистое дерево».

а : k + b • ( с - m )

3-ий уровень. Затем на ступенях дерева обозначается порядок вы­полнения действии.

4-ый уровень. На последнем уровне «дерево» полностью убирается и выбирается наиболее удобный порядок действий. Возможные ва­рианты записываются под выражением:

a : k + b • ( с - m )

1 4 3 2

2 4 3 1

3 4 2 1

Фиксация результатов анализа структуры с помощью графа («дерева») позволяет сделать управляемым процесс осуществления такого анализа.

Эти идеи на практике были воплощены в следующие учебные ситуации.

4-я учебная ситуация.

Цель: Помочь детям овладеть анализом структуры числового вы­ражения с помощью развернутой схемы и побуждать детей к перехо­ду на сокращенные схемы.

Ход выполнения задания:

В ходе выполнения задания дети учились выявлять на основании исходного отношения различные способы построения схемы. Работа А шла на четырех уровнях анализа. Например, а : k + b • (с - m) • n

1-й уровень.

а : k + b • (с - m) • n

1)

А + b • M • n

На данном уровне мы учили детей составлять развернутые схемы и «читать» их.

2-й уровень. На этом уровне дети отошли от полных схем. Про­межуточные выражения перестали записывать и составляли так на­зываемые «чистые схемы» при выполнении следующих заданий:

1. а : k + b • (с - m) • n

2. 25 : 5 + 3 - (310 - 20) - 10

3. 450 : 9 - 5 • (30 + 50) : 10

3-ий уровень. Дети после составления схемы ("дерева") обо­значили порядок выполнения действий в соответствии с уровнями. Работа начиналась с простых выражений типа:

а + b · c c - k : d а · b + d

Затем выражения все усложнялись:

d • а + b • с b • ( k - m ) + a

2

3

и мы перешли к более сложному виду:

Например :

а : k + b • ( c - m ) • n

4- ый уровень. Схема ("дерево") явно не строи­лась, детям предлагалось на основании мысленного построения схемы выбрать наиболее удобный порядок действий. Все возможные случаи расстановки порядка действий записывали под выражением.

Например:

а : k + b • (с - m) • п

1 5 3 2 4

2 5 3 1 4

4 5 2 1 3

4 5 3 1 3

3 5 4 1 2

После таких занятий был проведен контрольный срез. Каждый ученик выполнял задание на индивидуальном бланке.

Нам было интересно узнать, смогут ли дети правильно опреде­лить порядок действий, выберут ли наиболее удобное, будут ли ис­пользовать при этом схемы и какого уровня будут эти схемы.

Содержание

Задание: определить порядок действий в выражениях.

В контрольном задании приведены в качестве примера задание варианта №2.

1) b : t - k • (a + b)

2) a • k + d : (c - t) • m + p

Итог: Результаты первого среза знаний оказались неожиданными для нас, так как двое из пяти учеников допустили ошибки в опреде­лении порядка действий и не смогли обнаружить все возможные ва­рианты расстановки порядка действий.

Один из учеников выполнил свою работу так:

b : t - k • (а + b)

2 4 3 1

1 4 3 2

2 1 4 3

Третья строчка в его решении неверна и кроме того он не увидел такой вариант:

b : t - k • (а + b)

2 4 3 1

Аналогичные ошибки были и у других детей. Надо сказать, что на предварительных занятиях эти ребята ошибок не допускали.

Причиной такого результата мы склонны считать недостаточный уровень развития контрольно-оценочной сферы учебной деятель­ности детей, поэтому мы сочли необходимым составить задание коррекционного типа.

Детям предлагались задания на отдельных карточках для само­стоятельного решения.

Пятая и шестая учебные ситуации представляют систему коррекционных заданий разного уровня анализа структуры выражений, со­ставленных по принципу от простого к сложному.

5ая учебная ситуация

Цель : коррекция уровня развития контрольно-оценочной сферы учебной деятельности учащихся при определении порядка действий.

Содержание

Задание 1: Определи порядок действий.

1. а + b + с

2. k + с – 1

3. m • n • d

4. a • b : с

5. a • b – с

6. a • (b + с) – m

7. m - k • (c + n)

8. p : (b - с) – m

9. (k + c) : h – d

Задание2 Выполни задание на любом из трех уровней:

1 уровень Составь схемы. Назови все возможные действия.

2 уровень Решите, используя сокращенную схему.

3 уровень Выбери порядок действий. Реши.

1. 10 - 3 • 2

2. 15 • 2 - 70 : 10

3. 130 + 12 - 2 • 5

4. 24 : 4 + 2 • (10-3)

5. 3 • 6 - 4 : (16 : 8) • 8

6. 47 + 45 : 9 - (3 + 36)

7. 2 • (13 + 2) – 15

8. 32 : 8 + 3 • (16-3) • 3

9. 10 • 10 - 2 • (10 + 2) : 12

10. 15 : 5 + 3 - (6 + 2) - 5 • 2

6-ая учебная ситуация

Цель : Продолжать работу по формированию умения определить порядок действий без построения схем.

Содержание

Задание: Поставь порядок действий, не выполняя построения схемы и выполни его, если возможно.

1) 2448 : 6 + 1854 : 6 1) а • (b +c) • d

2) 800 - 640 : 8 + 70 • 4 2) а : (b - с ): d + m • n

3) 110 • 6 - 99 : 33 3) (а - b • с) • d

4) 1000 - 180 • 3 + 230 • 2 4) (а + b : с) • р

5) (84-7 • 12) • 35

6) (9 + 84 : 3) • 2

7) 75 • (48 - 2 • 24)

Задание2: Вставь пропущенную операцию.

1) (45 • 2 - 90) • 12

2) (74 • 2 + 37) : 37

3) 38 • 51 + 38

4) 587 + 720 • 20

5) 400 • (80 + 180 : 3)

6) (7286 • 324) : 10

7) 787 • 405 -226-2

8) 8050 - (724 • 84 • 35)

9) 84 • 23 + 16

11. 75 • 80 : 30

Задание 3: Выбери наиболее удобный порядок действий. Вычисли результат.

1) 10 + 57 - 17

2) 50 + 36 -26

3) 72 + 43 + 18 + 57

4) 64 + 36 + 29 + 61

5) 150 +65-15

6) 2 + 96 + 98 + 904

7) 257 + 3 + 18 + 2 + 40

8) 48 + 530 +70+52

9) 33 + 34 +35 +36+37

10. 150 • 180 : 3 : 20

Задание 4: Составьте числовые выражения, чтобы было два вари­анта в расстановке порядка действий.

Задание 5: Поставь знак или скобки, чтобы получился данный

ответ.

1) 24 + 36 : 2 • 3 = 30

2) 24 + 36 : 2 • 3 = 90

3) 24 + 36 : 2 • 3 = 126

4) 20 • 9 - 6 : 3 = 58

5) 20 • 9 - 6 : 3 = 140

6) 20 • 9 - 6 : 3 = 20

7) (70 *4) • 8 = 2240

8) (90 - 160 -К-4) • 2 ⁼⁼ 100

9) 240 -X- 3 + 20 - 9 = 91

10) 120 • 4 + 630 * 9 = 550

11) 3 * (90 - 14 • 4) = 102

12) 420 * 60 • 7 = 0

Итог: анализируя выполненные детьми задания мы пришли к выводу, что эти задания существенно помогли детям преодолеть те трудности и ошибки, которые они допускали в последнем контроль­ном срезе. Причем, большинство детей работали на третьем уровне анализа, т. е. сразу безошибочно определяли более рациональный порядок действий.

Такие хорошие результаты пятой и шестой учебной системы не являются гарантией того, что они повторятся в любом классе с лю­быми детьми, так как дети, участвующие в эксперименте имели вы­сокий уровень учебной мотивации и занимались в математических кружках добровольно. Тем не менее мы считаем, что предложенные нами учебные задания можно успешно использовать для детей с разным уровнем готовности, проводя соответствующую коррекционную работу.

Овладение детьми способом анализа структуры числового выражения дает возможность осуществить «перенос» знаний и умений в новую ситуацию, а именно на процесс решения алгебраических уравнений.

Рассмотрим систему учебных ситуаций, направленных на формирование рефлексивного контроля в процессе обучения младших школьников анализу процесса решения уравнения.

При подходе к понятию уравнения, процесс его решения может быть представлен учащимся как функционирование находящихся в единстве двух противоположностей: "отношения" и "действия". По­этому первая учебная задача направлена на усвоение детьми смысла действия "сложение" и "вычитание" и связанного с ним отношения целого и части (целое больше части; часть меньше целого).

Вторая учебная задача возникает внутри первой в процессе пе­рехода от отношения "неравно", к отношению "равно". Здесь уча­щиеся выделяют принцип такого перехода: уравнять - значит определить разность. Этот принцип фиксируется особой схемой. Услож­нение конкретных задач приводит учащихся к необходимости анали­за взаимосвязи операций в структуре формулы, моделирующей эти задачи. Поэтому объектом анализа в третьей учебной задаче являет­ся иерархия операций в математическом выражении. Завершается решение этой системы учебных задач, четвертой задачей, направ­ленной на освоение обобщенного способа решения алгебраического уравнения.

Остановимся подробнее на этапе поиска учащимся обобщенного способа решения уравнений. Учитель предлагает следующие уравне­ния:

10 + X = 36 • 2 (1)

X = 36 + 10 (2)

10 • 2 + X = 36 (3)

10 + 2 • X = 36 (4)

Они составлены так, что по своим внешним несущественным признакам похожи друг на друга - одинаковые числа и одни и те же операции. Их существенное отличие - различный способ взаимосвя­зи операций в уравнении.

Так, в уравнениях (1) и (2) операции независимы друг от друга, так как стоят в разных частях. Поэтому одну из них всегда можно выполнить и тем самым заменить данные уравнения простыми. В уравнениях (3) и (4) операции стоят и в одной части, порядок их выполнения строго определен - поэтому не всегда можно выполнить одну из операций ( это зависит от того, какое положение занимает "X" в формуле). Уравнение (3) составлено так, что при новой структуре можно работать прежним способом (выполнить умноже­ние и перейти к простому уравнению). Уравнение (4) имеет ту же структуру, что и уравнение (3), но решить его известным учащимся способом не удается.

Создается проблемная ситуация - обнаружить несоответствие своего способа действия новым отношением дети могут в том слу­чае, если прежняя цель - найти число - приобретает иной смысл:

"Как я должен действовать, чтобы найти это число"? Иными слова­ми, данная ситуация должна превратиться в рефлексивную. Для этого детям необходимо обратиться к основанию построения способа решения уравнения (4), а значит выделить в качестве существенного условия соподчиненность операций.

Анализ собственных действий в процессе поиска способа ре­шения уравнения (4) приводит учащихся к обобщению процесса ре­шения любого уравнения с такой структурой. Это фиксируется осо­бой схемой, которая является тем средством, с помощью которого можно провести развернутый анализ решения любого уравнения. Особенность этого анализа состоит в том, что он позволяет уча­щимся осуществлять циклические переходы от сложившихся струк­турных отношений к генетическим, а затем на их основе через функциональные связи переходить к новым структурным отношени­ям. Такая схема позволяет учащимся «схватить» весь процесс реше­ния в целом еще до того, как они начинают решать конкретные уравнения.

Умение учащихся «удерживать» весь процесс решения уравне­ния при выполнении каждой отдельной операции означает наличие у них умения осуществлять рефлексивный контроль своего способа действия. Такое умение формируется в процессе планирования спо­соба решения конкретного уравнения.

В первой ситуации, направленной на формирование рефлексив­ного контроля, учащимся предлагается такое задание: с помощью схемы составить план решения уравнений t : (k + х • t) • р = b - с. Учащиеся работали парами, поочередно выполняя отдельные этапы. В итоге на общем листе получается такая запись:

1) t : ( k + x • t ) • р = b - с;

2) t : ( k + x • t ) • p =

3) k + x • t =

4) x • t =

5) x =

Планирование решения уравнения позволяет детям «схватить» цикличность этого процесса и уловить его принцип - перехода от сложной структуры ко все более простой.

После нескольких сеансов совместного планирования можно предложить учащимся индивидуальную проверочную работу сле­дующего содержания: «Определите, при решении какого уравнения придется сделать наибольшее количество «шагов». Детям предлага­ется восемь уравнений:

1) x + b : ( с - k ) = t;

2) a + x : ( c – k ) = t;

3) а + b : ( х - k ) = t;

4) a + b : ( c – x ) = t;

5) x + 42 : ( 24 - 17 ) = 15;

6) 25 ,+ x : (34 - 17 ) = 32 ;

7) 30 + 8 : ( x - 2 ) = 34;

8) 48 + 12 : ( 6 - x ) == 52;

Эти уравнения получены на основе одной и той же формулы. Поэтому количество циклов в процессе их решения зависит от по­ложения «х» в этой формуле, а следовательно, учащиеся могут вы­полнить задание, не составляя плана решения для каждого отдель­ного уравнения. Это произойдет в том случае, если дети раскроют связь между положением «х» в уравнении и количеством циклов в процессе его решения.

Поэтому, вторая ситуация направлена на раскрытие детьми свя­зи между «х» в уравнении и количеством циклов в процессе его ре­шения. Для этого необходимо дать детям возможность целенаправ­ленно изменять это условие и анализировать последствия такого изменения.

Можно предложить такое задание: «Составьте все возможные уравнения из формул 5 • ( 23 - 7 ) + 20 = 510 : 3. Определите, бу­дут ли такие уравнения, для решения которых придется сделать оди­наковое количество «шагов».

Мы предполагаем, что на данном этапе анализа дети еще не выделят положение «х» в «связке» как определяющее условие для количества циклов в процессе решения уравнения. Как правило ( как показал опыт ), дети могут записать на своих листочках сле­дующие три группы уравнений:

1) х • ( 23 + 7 ) + 20 = 510 : 3;

5 • ( х + 7 ) + 20 = 510 : 3;

2) 5 • ( 23 + 7 ) + х = 510 : 3;

3) 5 • ( 23 + 7 ) + 20 = х : 3;

5 • ( 23 + 7 ) + 20 = 510 : х.

Таким образом, большинство учащихся ошибочно относят урав­нение

х • (23+7)+20=510:3к первой группе. Это означает, что среди структурных отношений дети выделяют только те, которые позволяют осуществить переход к генетическим отношениям в каж­дом цикле, но не видят те структурные отношения, которые связывают циклы между собой и тем самым обеспечивают целостность всего процесса решения уравнения.

Поэтому дальнейшее формирование рефлексивного контроля должно идти по линии более глубокого анализа, позволяющего об­наружить, что количество «шагов» в плане решения зависит от того, в какую операцию в «связке» попадает «х».

В результате такого анализа весь процесс планирования «сворачивается» в одну схему:

5 • ( 23 + 7 ) + 20 = 510 : 3 (1)

5 23+7 20 (2)

21 7 (3)

Эта схема распределяет все величины и все операции «по уров­ням». Количество циклов в процессе решения зависит от того, в операцию какого «уровня» попал «х». Так если «х» занимает место 510 или 3, то он попадает на первый уровень, и поэтому процесс решения состоит из одного цикла. Если «х» занимает место 23 или 7, то он попадает на третий уровень, и процесс решения будет со­стоять из трех циклов.

Такая схема позволяет учащимся заранее планировать количе­ство циклов в процессе решения любого уравнения. Процесс плани­рования циклов в процессе решения любого уравнения. Процесс планирования «схватывался» ими как некоторая целостность до то­го, как составлялся план решения конкретного уравнения.

Это происходит потому, что схема рефлексивного контроля мо­делирует процесс перехода от генетических отношений к функцио­нальным - при этом функциональные отношения становятся для ре­бенка предметом его собственного «конструирования». После нескольких уроков работы со схемой, детям можно предложить ди­агностирующие задания:

Задание №1.

По формуле; а-m • (c+k)=b:p+t соста­вить уравнения, для решения которых необходимо сделать два "шага". Работу можно считать успешной в том случае, если ученик составит два или три уравнения. Интересно проследить, как дети пользуются схемой: используют ее как средство развернутого анали­за формулы, или как средство «конструирования» уравнения.

Второе контрольное задание можно предложить детям через ка­кое-то время после первого. Интересно выяснить, в какой степени интериоризовался анализ - поэтому не следует давать детям никаких дополнительных указаний относительно использования схемы пла­нирования.

Задание № 2.

Определить место «х» в формуле: b : с • р + m • ( a : t - n) = p - m • b, так, чтобы процесс решения имел наиболь­шее число «шагов».

Планирование, которое выполняется по схеме, позволяет осуществить вы­бор из всех возможных функциональных связей тех, которые соот­ветствуют заданным параметрам ( наибольшее число циклов в про­цессе решения ).

Однако, в данном случае возможен и другой способ планирова­ния, главное отличие которого состоит в том, что порядок действий, которым завершается анализ, является обратным по отношению к порядку действий, которым завершается планирование. Поэтому, третья ситуация по формированию рефлексивного контроля должна быть направлена на раскрытие детьми связи между порядком дей­ствий при анализе и порядком действий при планировании.

В результате схема «сворачивается», планирование выполняется теперь как внутреннее мыслительное действие, результат которого фиксирует очередность выявления в «связках» главной операции. Однако для освоения планирования на этом новом уровне детям не­обходимо совместно (в паре) выполнить три серии заданий.

В первой серии дети должны научиться строить сокращенную схему и ставить в «разрывах» по уровням порядок выявления «главной» операции в «связках». Роли между партнерами распреде­ляются так: первый ученик строит схему для первой части формулы, после этого второй ученик, проверив работу товарища, расставляет порядок следования «главных» операций. Затем роли меняются: с правой частью формулы начинает работать второй ученик, а первый контролирует его и после этого расставляет порядок следования «главных» операций в «связках». Ученики работают ручками разно­го цвета, что позволяет учителю оценивать работу каждого ребенка в паре.

Вторая серия отличается от первой тем, что в совместной работе школьники поочередно ставят цифры, определяющих порядок сле­дования «связок», и строят соответствующую часть схемы. Партнеры теперь действуют так: первый ученик находит «связки» первого уровня, но не подчеркивает их, а ставит цифру «1» под соответствующей операцией и передает работу товарищу. Второй ученик, прежде всего должен проверить выполненную часть работы. Для этого он строит часть схемы и, убедившись в правильности выбора «главной» операции, продолжает работу. Теперь он ставит цифру «2» под соответствующей операцией и передает работу на контроль своему партнеру. Первый ученик контролирует его работу и делает следующий шаг.

Таким образом, построение схемы как бы отстает от расстанов­ки цифр. Это позволяет постепенно подменять построение схемы постановкой цифр. Тем самым дети начинают относиться к поста­новке цифр, как основному мыслительному действию, а построению схемы - как средству контроля за этим действием.

В третьей серии дети поочередно так же, как и во второй, ста­вят цифры, но при этом им предлагается не проводить линию, а имитировать подчеркивание «связок» движением руки. В случае не­обходимости разрешается проверить себя фактическим построением схемы. Для работы таким способом, детям были предложены три основные и две дополнительные формулы. Все основные формулы содержат одно и то же число операций, но различаются по структу­ре. В дополнительных формулах усложнение структуры сопровож­дается увеличением числа операций.

В результате по способу использования схемы выявляются три уровня интериоризации планирования: 1) полное построение схемы; в совместной работе каждая цифра проверяется детьми с помощью изображения соответствующего участка схемы обоими партнерами; 2) частичное построение схемы, когда один из партнеров или оба строят отдельные участки схемы; 3) отсутствие схемы: весь процесс планирования осуществляется во внутреннем плане, цифры, как правило, расставляются не «лесенкой», а в одну линию.

Анализ результатов выполнения учащимися трех серий со­вместных работ позволяет проследить весь процесс формирования внутреннего плана действий. Первоначально, постановка цифр про­сто опережает на один шаг фактическое построение схемы, затем схема строится только для нечетного или четного уровня, т.е. через один уровень и тем самым две операции выполняются во внутрен­нем плане. После этого из всей схемы остается только один уро­вень, и весь процесс планирования как бы разделяется на два этапа, каждый из которых осуществляется во внутреннем плане. Наконец, и эта внешняя опора убирается, - все планирование переходит во внутренний план, хотя цифры все еще расставляются «лесенкой», которая затем «выпрямляется».

Основная роль в этой интериоризации планирования принадле­жит совместной деятельности учащихся. Поскольку главная задача «подменить» одно реальное действие (построение схемы) другим ре­альным действием (расстановкой цифр), то необходимо, чтобы они первоначально выступали для детей как два отдельных, но взаимо­связанных действия. Это достигается в первой серии совместной ра­боты, когда один ученик строит схему, а другой расставляет по ней цифры.

Затем оба плана действий совмещаются в одном новом действии, но не смешиваются в нем. Это удается сделать, если цель совместной работы во второй серии дети увидят в правильной постановке цифр, а построение схемы станет средством контроля за этим основным действием. Для учащихся объектом контроля в их совместной работе станет именно анализ собственных способов дей­ствия, который заключается в расстановке цифр, определяющих по­рядок следования «главных» операций в процессе решения.

Через некоторое время, после завершения всех трех серий со­вместной работы, можно предложить детям третье контрольное зада­ние.

Задание № 3. Экспериментатор поочередно предлагает пять кар­точек, на каждой из которых написана формула:

1) a : ( b + t ) • p = m • c – k : b;

2) a : b • ( k + m ) • p = c : ( m • n + c : t );

3) ( c : a + b ) • k - p • m = ( m + t ) • c : p;

4) a – m : ( k – t ) : c = ( m + k ) : ( m • n + b • p );

5) c + b : ( m • a – 1 ) • d = n • ( t : p + b ) - b • k.

Ребенок должен назвать место в формуле, на которое нужно поставить «х», чтобы уравнение, составленное по первой формуле, решалось за один «шаг», по второй - за два, по третьей - за три, по четвертой - за четыре и по пятой - за пять «шагов». При этом фор­мулы составлены так, что по второй формуле нельзя составить уравнение, которое решалось бы за два «шага», а по четвертой - за четыре.

Эти «ловушки» создадут ситуацию, при которой ребенок вы­нужден будет объяснить экспериментатору, почему он не может вы­полнить задание. При этом важно выявить, что ученик станет ис­пользовать в качестве средства аргументации. Относительно быстрое выполнение задания может быть косвенным показателем того, что ребенок действует во внутреннем плане, - поэтому нужно фиксиро­вать время, затраченное каждым ребенком, как на выполнение от­дельного задания, так и всей работы в целом.

Материалы, полученные нами в условиях специально организованной учебной деятельности, могут быть использованы в рамках традиционного обучения младших школьников математике, в частности это касается изучения порядка действия в числовом выражении во вторых – третьих классах массовой школы. В ходе эксперимента нами создана новая методика обучения младших школьников анализу структуры числового выражения. Использование этой методики в практике массовой школы показало, что количество ошибок учащихся, связанных с расстановкой порядка действий в числовом выражении резко сокращается.

Разработанный нами подход к усвоению понятия «уравнение» вооружает учащихся обобщенным способом решения целого ряда уравнений входящих в программу математики средней школы. Кроме того, умение выражать одну из величин, входящих в формулу, через другие величины необходимо учащимся для успешного решения физических задач.

Основная литература по 2 разделу:

1. Репкина Н. В. Что такое развивающее обучение? Томск: Пеленг, 1993.

2. Талызина Н. Ф. Педагогическая психология. М.: Академия, 1997.

3. Матюхина М.В. Психология обучения. Волгоград: Перемена, 1996.

4. Маслова Н.А. Этапы формирования вычислительных навыков у младших школьников в пределах ста / Дипл. работа. Волгоград, 1997. (науч. рук-ль канд. психол. наук Г.П.Максимова).

5. Шипиловой И. А. Методика обучения учащихся младших классов анализу структуры числового выражения / Дипл. работа. Волгоград, 1996. (науч. рук-ль канд. психол. наук Г.П.Максимова).