5. Перестановки с повторениями.

5.1. Сколько различных «слов» можно получить переставляя буквы в словах:

а) математика ?;

б) парабола ?;

в) комбинаторика ?;

г) класс ?;

д) пионер ?;

е) институт ?.

Решение. а) «Слова», полученные перестановкой букв в слове «математика», кодируется перестановкой с повторениями множества {м, а, т, е, и, к} состава (2,3,2,1,1,1). Поэтому искомое число равно

. 

5.2. Сколькими способами можно разместить 30 различных предметов по 6 ящикам чтобы в каждом ящике оказалось по 5 предметов ?

Решение. Размещение предметов по ящикам кодируется функцией f, определённой на множестве предметов и принимающей значения в множестве ящиков, причём |f (b)| =5, для любого ящика b. Поэтому искомое число равно . 

5.3. Сколько можно составить 12 буквенных «слов» из 4 букв «а», 4 букв «в», 2 букв «с» и 2 букв «д» ?

Ответ. . 

5.4. Найти число 5 буквенных «слов», образованных буквами «а, б, в» и в которых буква «а» появляется самое большее 2 раза, буква «б» - 1 раз, буква «в» - 3 раза.

Ответ. 60. 

5.5. Сколькими различными способами можно переставить буквы в слове МИССИССИППИ так, чтобы 4 буквы С не стояли подряд ? чтобы 4 буквы И не стояли подряд ? чтобы 2 буквы П не стояли подряд ?

Ответ. . 

5.6. Поступающий в высшее учебное заведение должен сдать 4 экзамена. Он полагает, что для поступления достаточно будет набрать 17 баллов. Сколькими различными способами он может сдать экзамены, набрав не менее 17 баллов и не получив ни одной двойки ?

5.7. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр числа 75266522?

5.8. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски 88 ?

Ответ. . 

5.9. Сколькими способами можно расположить в один ряд 3 зелёные и 4 красные лампочки ?

Ответ. . 

5.10. Сколько существует семизначных чисел у каждого из которых цифра 6 встречается три раза, а цифра 5 четыре раза ?

Ответ. . 

5.11. Сколькими способами группу в 10 человек можно разбить на 3 подгруппы, по 2,3,5 человека в подгруппе, для работы в библиотеке, спортзале и столовой, соответственно ?

Ответ. 

5.12. Сколькими способами можно распределить 7 молодых специалистов по трём школам, которым, соответственно, нужны 1,2,4 учителя ?

Ответ. 

5.13. Десять человек разбиты на 5 групп, по два человека в каждой. Сколькими способами это можно сделать ?

Ответ. . 

5.14. Сколько будет, если сложить все различные числа, полученные перестановкой цифр числа:

а) 11232 ?;

б) 19977 ?;

в) 55022 ?;

г) 805082 ?.

5.15. Точка начинает движение из начала координат (0,0,0) по ломанной, которая называется путём, на каждом шаге точка может переместиться на 1 вправо в горизонтальной плоскости или на 1 вперёд в горизонтальной плоскости или на 1 вверх.

а) Сколько существует путей от точки (0,0,0) до точки (k, m, n)N₀³ ?

б) Сколько существует путей от точки (0,0,0) до точки (k, m, n)N₀³ , проходящих через точку (k₁,m₁,n₁)N₀³ , где k₁ k, m₁ m, n₁ n ?

в) Сколько существует путей от точки (0,0,0) до точки (k, m, n)N₀³ , не проходящих через точку (k₁,m₁,n₁)N₀³ , где k₁ k, m₁ m, n₁ n ?

Указание. Сравнить с решением задачи №60.

Решение. а) Каждый путь кодируется кортежем длины k+m+n из 0,1 и 2; если на i- м шаге точка перемещается на 1 вправо в горизонтальной плоскости, то на i- м месте кортежа записываем 0; если на i- м шаге точка перемещается на 1 вперёд в горизонтальной плоскости, то на i- м месте кортежа записываем 1; если на i-м шаге точка перемещается на 1 вверх, то на i-м месте кортежа записываем 2. Полученный кортеж является перестановкой с повторениями множества {0,1,2} состава (k, m, n). Поэтому искомое число равно . 

67