4. Подмножества (сочетания)

4.1. Пусть A, B - конечные множества, k, m, nN₀, k m n, |A| = k, |B| = n. Сколько решений имеет неравенство:

а) AX B, |X| = m ?

б) AX B ?

Решение. а) Отображение X X-A является биективным отображением множества решений системы AX B, |X| = m на множество всех m-k элементных подмножеств множества B-A. Поэтому искомое число равно . 

4.2. Сколькими способами можно выбрать 3- х делегатов на конференцию из группы в 25 человек ?

Ответ. . 

4.3. Сколькими способами можно поставить 8 шашек на чёрные поля шахматной доски 88 ?

4.4. а) Сколькими способами в карточке "Спортлото" 6 из 49 можно зачеркнуть 6 номеров ?

б) в скольких случаях будут правильно угаданы 3 номера ?

в) в скольких случаях будут правильно угаданы 4 номера ?

г) в скольких случаях будут правильно угаданы 5 номеров ?

д) в скольких случаях будут правильно угаданы 6 номеров ?

Решение. б) Пусть A- множество правильных ответов, B- множество неправильных ответов, |A| = 6, |B| = 43. Каждое правильное угадывание 3- х номеров кодируется кортежем (X,Y), где XA, |X| = 3, YB, |Y| = 3. Поэтому искомое число равно 

4.5. У одного человека 11 различных марок для обмена, а у другого 15, причём одинаковых марок у них нет. Сколькими способами они могут организовать обмен 3 марок ?

4.6. Сколькими способами можно поставить на чёрные поля шахматной доски 88 12 белых и 12 чёрных шашек ?

4.7. а) В скольких точках пересекаются диагонали выпуклого n угольника, если никакие 3 из них не пересекаются в одной точке ?

б) На сколько частей они разделят многоугольник ?

Решение. а) Каждая точка пересечения диагоналей кодируется парой пересекающихся диагоналей, которая в свою очередь кодируется множеством из 4 вершин. Поэтому искомое число равно . 

4.8. В турнире принимали участие n шахматистов и каждые два шахматиста встретились 1 раз. Сколько партий было сыграно в турнире ?

4.9. Сколько существует кортежей из 0 и 1 длины n содержащих k единиц ?

Решение. Каждый такой кортеж кодируется подмножеством мест на которых записана 1. Поэтому искомое число равно . 

4.10. Точка начинает движение в плоскости из начала координат (0,0) по ломанной, которая называется путём, на каждом шаге точка может переместиться на 1 вправо по горизонтали или на 1 вверх по вертикали. f ,f ,

а) Сколько существует путей из точки (0,0) до точки (m, n)N ?

б) Сколько существует путей из точки (0,0) до точки (m, n) проходящих через точку (m ,n ), где (m, n),(m ,n )N , 0 m  m, 0 n  n ?

в) Сколько существует путей из точки (0,0) до точки (m, n) не проходящих через точку (m ,n ), где (m, n),(m ,n )N₀² , 0 m  m, 0 n  n ?

Решение. а) Каждый путь кодируется кортежем длины m + n из 0 и 1, если на i- м шаге точка движется на 1 вверх, то на i- м месте кортежа записываем 1, в противном случае 0. Полученный кортеж содержит m чисел 1. Используя задачу 59 получаем, что искомое число равно .

б) .

Замечание. Другое решение этой задачи может быть получено при использовании перестановок с повторениями, см. решение задачи ? 

4.11. На плоскости даны n точек никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых можно провести через эти точки ?

4.12. На плоскости даны n прямых никакие две из которых не параллельны и никакие три из которых не пересекаются в одной точке.

а) Сколько точек пересечения имеют эти прямые ?

б) Сколько треугольников образуют эти прямые ?

в) На сколько частей делят плоскость эти прямые ?

г) Сколько среди этих частей ограниченных и сколько неограниченных ?

4.13. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. В скольких случаях среди этих карт окажется:

а) ни одного туза ?

б) ровно один туз ?

в) ровно два туза ?

г) ровно три туза ?

д) хотя бы один туз ?

е) не менее двух тузов ?

Решение. б) Пусть A- множество всех тузов, B- множество всех остальных карт, |A|=4, |B|=48. Искомое число равно числу всех кортежей (X,Y) таких, что X  A, Y  B, |X|=1, |Y|=9. Поэтому искомое число равно . 

4.14. Сколькими способами можно выбрать 6 карт из колоды содержащей 52 карты так, чтобы:

а) все карты были одной масти ?

б) три карты одной масти и по одной других мастей ?

в) две пары одинаковой масти и по одной двух других мастей ?

г) по крайней мере две карты одной масти ?

Решение. в) Каждый способ выбора 6 карт кодируется кортежем (A,B,C,D), где A- множество червовых, B- множество бубновых, C- множество пиковых, D- множество крестовых карт, образованные выбранными 6 картами. Из 4- х элементного множества {A,B,C,D} 2- х элементное подмножество можно выбрать способами (будем считать, что его элементами являются 2- х элементные множества). Если, например, выбрано подмножество {A,B}, то мы считаем, что выбраны 2 червовые и 2 бубновые карты; поэтому число всех таких кортежей (A,B,C,D) равно . Искомое число равно 6 169 176. 

4.15.Функция f:{1,...,n}{1,...,m} называется строго возрастающей, если из i<j следует, что f(i)<f(j) для всех i, j{1,...,n}. Сколько всего существует строго возрастающих функций f:{1,...,n}{1,...,m}?

Решение. Каждая строго возрастающая функция f кодируется множеством , которое имеет мощность n и является подмножеством множества {1,...,m}. Поэтому искомое число равно . 

4.16. Сколько существует бинарных отношений на множестве из n элементов (включая и пустое отношение) ?

Решение. Пусть U есть n элементное множество. Бинарное отношение на множестве U есть подмножество множества U . Поэтому искомое число равно . 

4.17. Сколько существует рефлексивных бинарных отношений на множестве из n элементов?

Решение. Пусть U есть n элементное множество, A={(a, a)aP}, X- множество всех рефлексивных бинарных отношений на множестве U. Искомое число равно числу решений неравенства AX U , из задачи 51 следует, что оно равно . 

4.18. Сколько существует сдач при игре в дурака:

а) вдвоём ?

б) втроём ?

в) вчетвером ?

Ответ. а) . 

4.19. Сколькими способами читатель может выбрать две книги из пяти различных книг ?

4.20. Сколькими способами из 10 человек, играющих в городки, можно составить команду из 4 человек ?

4.21. В розыгрыше первенства по волейболу принимают участие команды 6 факультетов, при этом любые две команды играют между собой только один матч. Сколько всего запланировано календарных игр ?

4.22. У Нины есть 8 различных книг по математике, а у Славы - 10 различных книг по физике. Сколькими способами они могут обменять друг с другом по 6 книг ?

4.23. Из 2- х математиков и 10- экономистов надо составить комиссию в составе 7- ми человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия, если в неё должен входить хотя бы один математик ?

4.24. а) Сколько подмножеств множества {1,2,...,10} содержит, по крайней мере, одно нечётное число ?

б) Сколько подмножеств множества {1,2,...,n} содержит, по крайней мере, одно нечётное число ?

в) Сколько 3- х элементных подмножеств множества {1, 2,..., 10} содержит, по крайней мере, одно нечётное число ?

г) Сколько k элементных подмножеств множества {1, 2,..., n} содержит, по крайней мере, одно нечётное число ?

д) Найти число всех 2-х элементных подмножеств множества {1, 2,..., n} сумма элементов которых чётна.

е) Найти число всех 2-х элементных подмножеств множества {1, 2,..., n} сумма элементов которых нечётна.

Решение. б) Число всех подмножеств множества {1,2,...,n} равно . Множество {1,2,...,n} содержит чётных чисел, поэтому число всех подмножеств множества {1,2,...,n} содержащих только чётные числа равно . Искомое число равно . 

4.25. Сколько существует последовательностей целых чисел (y ,..., y ) таких, что:

а) 0y ...y n ?

б) 0y ...y n ?

г) 0y ...y n ?

д) 0y ...y =n ?

Решение. а) Последовательность (y ,..., y ) кодируется k элементным множеством {y ,..., y } подмножеством множества {1,2,...,n-1}. Поэтому искомое число равно . 

4.26. Сколько существует последовательностей целых чисел (y ,...,y ) таких, что:

а) 0y ...y 2n и один из членов последовательности равен n ?

б) 0y ...y 2n и ни один из членов последовательности не равен n ?

в) 0y ...y 3n и ни один из членов последовательности не равен n

и 2n ?

4.27. а) Сколько подматриц имеет матрица размера mn ?

б) Сколько подматриц размера lk имеет матрица размера mn ?

4.28. Сколькими способами можно расположить 5 ладей на шахматной доске 88 так, чтобы они не могли бить друг друга ? расположить 6 ладей ?

4.29. Сколько существует:

4.29. 6- элементных подмножеств множества не содержащих последовательных чисел?

4.29. k- элементных подмножеств множества не содержащих последовательных чисел?

4.30. Сколько существует k- элементных подмножеств множества не содержащих чисел:

а) разность между которыми равна s ?

б) разность между которыми не меньше чем s ?

4.31. Определить сумму всех натуральных чисел в десятичной записи каждого из которых цифры образуют возрастающую или убывающую последовательность.

4.32. Пусть - конечное множество. Рассмотрим систему «линейных» неравенств относительно - подмножеств множества :

(1)

где все коэффициенты и свободные члены - подмножества множества .

а) Найти все решения системы неравенств (1).

б) Сколько решений имеет система неравенств (1)?

в) Сколько решений имеет система неравенств (1) таких, что ?

4.33. Пусть - конечное множество, . Сколько существует кортежей , где , таких, что:

а) Каждый элемент принадлежит точно множествам кортежа ?

б) ?

в) и каждый элемент принадлежит точно множествам кортежа ?

4.34. Пусть - конечное множество, . Кортеж называется упорядоченным разделяющим семейством для множества , если для любых двух различных элементов множества найдётся множество в кортеже, содержащее один из этих элементов и не содержащее другой. Сколько существует упорядоченным разделяющим семейством для множества таких, что:

а) Каждый элемент принадлежит точно множествам кортежа ?

б) ?

в) и каждый элемент принадлежит точно множествам кортежа ?

4.35. Сколько существует матриц размера элементами которых являются множества таких, что объединение множеств в каждой строке и в каждом столбце равно множеству , где ?

4.36. Пусть - конечное множество, . Сколько решений имеет следующая система неравенств

где .