2.15. Сколько существует различных:

а) трёхзначных чисел, имеющих все чётные цифры ?

б) n- значных чисел, имеющих все чётные цифры ?

в) n- значных чисел, имеющих все нечётные цифры ?

в) n- значных чисел, имеющих как чётные так и нечётные числа ?

Ответ. а) . 

2.16. Сколько существует различных:

а) пятизначных чисел, которые читаются одинаково справа налево и слева направо ?

б) n- значных чисел, которые читаются одинаково справа налево и слева направо ?

Ответ. а) . 

2.17. Сколько существует различных:

а) шестизначных чисел, которые делятся на 5 ?

б) n- значных чисел, которые делятся на 5 ?

Ответ. а) . 

2.18. В розыгрыше первенства по футболу принимают участие 18 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная, бронзовая медали, если любая команда может получить только одну медаль ?

Ответ. .

2.19. Буквы азбуки Морзе состоят из символов- точка и тире. Сколько можно составить букв при условии, что каждая буква состоит не более чем из 5 символов ?

Ответ. .

2.20. а) Имеется четверо мужчин и шесть женщин. Каждый мужчина женится на одной из женщин. Сколькими способами это можно сделать ?

б) Имеется n мужчин и k женщин. Каждый мужчина женится на одной из женщин. Сколькими способами это можно сделать ?

2.21. Сколько существует функций f:{1,...,n}{1,...,k} таких, что:

а) f(1) = 1, f(2)  2, n, k 2 ?

б) f(1)  1, f(2)  2, n, k2 ?

2.22. Сколько будет если сложить все n- значные натуральные числа:

а) не содержащие цифру 0 ?

б) содержащие цифру 0 ?

2.23. Пусть U- конечное множество, . Сколько существует:

а) пар , где , ;

б) пар , где , , .

в) пар , где , ;

г) множеств , где , ;

д) множеств , где , , ;

е) множеств , где , ;

2.24. Сколько существует - матриц размера у которых в каждой строке и каждом столбце имеется 1?

2.24. Сколько существует - матриц размера у которых в каждой строке и каждом столбце имеется 1?

3. r- перестановки (размещения без повторения), перестановки.

3.1. Сколько существует различных:

а) шестизначных телефонных номеров все цифры которых различны ?

б) шестизначных телефонных номеров не содержащих цифры 0 и все цифры которых различны ?

в) шестизначных телефонных номеров не содержащих цифр 0 и 9 и все цифры которых различны ?

г) шестизначных телефонных номеров не содержащих цифр 0,1,8,9 и все цифры которых различны ?

д) шестизначных телефонных номеров не начинающихся с цифр 0 и 8 и все цифры которых различны ?

е) шестизначных телефонных номеров не начинающихся с цифр 0,5,8 и все цифры которых различны ?

Решение. б) Телефонный номер кодируется кортежем (c ,c ,c ,c ,c ,c ),

где c - первая цифра номера,..., c - шестая цифра номера. Кортеж есть 6- перестановка множества {1,...,9}. Поэтому искомое число равно . 

3.2. а) Сколькими способами можно составить трёхцветный флаг из трёх параллельных горизонтальных полос, если имеются ткани 7 различных цветов ?

б) Сколькими способами можно составить трёхцветный флаг из трёх параллельных горизонтальных полос, одна из которых красная, если имеются ткани 7 различных цветов ?

Ответ. а) 7 =210. 

3.3. Сколько различных "слов" можно получить переставлять буквы слова:

а) пионер;

б) школа.

Ответ. а) 6!=720. 

3.4. Сколько различных "слов" длины k все буквы которых попарно различны можно составить из n букв ?

Ответ. а) n . 

3.5. В забеге участвуют 7 спортсменов и разыгрывается 3 медали. Сколькими различными способами может закончиться забег ?

3.6. В профком выбирается 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать ?

3.7. Сколькими способами можно опустить 5 различных писем в 11 различных почтовых ящиков, если в каждый ящик опускается не более одного письма ?

Решение. Опускание писем в ящики кодируется функцией, определённой на множестве писем и принимающей значения в множестве ящиков. Т. к. кодирующая функция является инъекцией, то искомое число равно . 

3.8. Сколько существует перестановок множества {1,...,n}, где n3, таких, что:

а) числа 1,3 стоят рядом в порядке возрастания ?

б) числа 1,3 стоят рядом в произвольном порядке ?

в) числа 1,2,3 стоят рядом в порядке возрастания ?

г) числа 1,2,3 стоят рядом в произвольном порядке ?

Решение. а) Заменим числа 1,3 одним символом. Можно считать, что переставляются элементы (n-1)- элементного множества. Поэтому искомое число равно (n-1)!. 

3.9. Сколько существует перестановок множества {1,...,n}, где nk, таких, что:

а) числа 1,..., k стоят рядом в порядке возрастания ?

б) числа 1,..., k стоят рядом в произвольном порядке ?

3.10. а) Сколько существует двузначных чисел в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечётные ?

б) Сколько существует трёхзначных чисел, в которых все цифры различны ?

3.11. Сколько существует n- значных чисел таких, чтобы:

а) цифры 1,3 стояли рядом в порядке возрастания ?

б) цифры 1,3 стояли рядом в произвольном порядке ?

в) цифры 1,2,3 стояли рядом в порядке возрастания ?

г) цифры 1,2,3 стояли рядом в произвольном порядке ?

3.12. Найти число способов раскладки n различных шаров по n различным урнам.

3.13. Сколькими способами 5 человек могут сесть на 5 стульев?

3.14. Сколькими способами могут расположиться в турнирной таблице 17 команд, если известно, что никакие команды не набрали одинакового числа очков?

3.15. Сколькими способами можно составить трёхцветный флаг из трёх параллельных горизонтальных полос, если:

а) имеются ткани трёх цветов?

б) имеются ткани трёх цветов и одна из полос красная?

3.16. Сколькими способами можно расположить 8 ладей на шахматной доске 88 так, чтобы они не могли бить друг друга? расположить 5 ладей? расположить 6 ладей?

Решение. (Ответ на первый вопрос). Расположение ладей закодируем кортежем (a ,a ,a ,a ,a ,a ,a ,a ), где a - номер горизонтали у которой в i - й вертикали расположена ладья. Это кортеж есть перестановка множества {1,...,8}. Поэтому искомое число равно 8!=40320. 

3.17. Квадратная матрица порядка n с элементами 0,1 называется матрицей перестановок, если в каждой строке и каждом столбце она имеет только одну 1. Сколько существует матриц перестановок порядка n ?

Ответ. n!. 

3.18. Сколько существует перестановок множества {1,...,n} таких, чтобы:

а) чётные числа располагались на чётных местах ?

б) нечётные числа располагались на нечётных местах ?

в) числа, кратные 3, располагались на местах кратных 3 ?

Решение. а) Чётных чисел и чётных мест существует . Нечётных чисел и нечётных мест существует n - . Перестановка кодируется кортежем из двух функций (f , f ), где f - биекция, определённая на множестве чётных чисел и принимающая значения на множестве чётных мест, f - биекция, определённая на множестве нечётных чисел и принимающая значения на множестве нечётных мест. Число всех биекций f равно !, число всех биекций f равно (n - )!. Поэтому искомое число равно

!(n - )!. 

Замечание. Символ обозначает целую часть числа . 

3.19. Сколько существует перестановок множества {1,...,n}, в которых:

а) между 1 и 2 расположено r чисел ?

б) между 1 и 2 расположено r₁ чисел, между 2 и 3 расположено r₂ чисел ?

Ответ. а) (n- r-1)( n-2)!. 

3.20. Сколько существует перестановок множества {1,...,n} в которых числа кратные 2 имеют номер кратный 2, числа кратные 3 имеют номер кратный 3?

Решение. Чисел и мест кратных 6 существует , чисел и мест кратных 2 и не кратных 6 существует , чисел и мест кратных 3 и не кратных 6 существует , число всех других чисел и мест равно . Перестановки кодируются кортежами (f ,f ,f , f ), где f ,- биекция определённая на множестве чисел кратных 6 и принимающая значения на множестве мест кратных 6, f - биекция определённая на множестве чисел кратных 2 и не кратных 6 и принимающая значения на множестве мест кратных 2 и не кратных 6, f - биекция определённая на множестве чисел кратных 3 и не кратных 6 и принимающая значения на множестве мест кратных 3 и не кратных 6, f - биекция определённая на множестве всех других чисел и принимающая значения на множестве всех других мест. Число биекций f равно !, число биекций f равно ( )!, число биекций f равно ( )!,число биекций f равно . Поэтому искомое число равно

!( )!( )! . 

3.21. Сколько существует подстановок степени n являющихся циклами ?

Ответ. ( n-1)!. 

3.22. Сколькими способами можно посадить n гостей за круглым столом, если способы посадки, отличающиеся сдвигом по кругу, считать одинаковыми?

Ответ. ( n-1)!. 

3.23. Сколько существует перестановок n элементного множества, в которых данные m элементов:

а) расположены рядом в некотором порядке ?

б) не расположены рядом в некотором порядке ?

в) расположены рядом в любом порядке ?

г) не расположены рядом в любом порядке ?

Ответ. а) (n-m+1)!; б) n!-(n-m+1)!; в) m!(n-m+1)!; г) n!- m!(n-m+1)!. 

3.24. Сколькими способами можно посадить за круглым столом n мужчин и n женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом, если способы посадки, отличающиеся сдвигом по кругу, не считаются одинаковыми?

Решение. Перенумеруем места за столом по кругу числами 1,2,...,2n. Существует n чётных мест и n нечётных мест. Существует 2 способа посадки.

1- й способ: посадить женщин на чётные места, а мужчин на нечётные.

2- й способ: посадить женщин на чётные места, а мужчин на нечётные.

При 1- м способе посадка кодируется кортежем (f , f ), где f - биекция, определённая на множестве женщин и принимающая значения на множестве чётных мест, где f - биекция, определённая на множестве мужчин и принимающая значения на множестве нечётных мест. Поэтому число всех посадок 1- м способом равно .

Аналогично, число всех посадок 2- м способом равно . Поэтому число всех посадок равно 2 . 

3.25. Сколько всего шестизначных чётных чисел можно составить из цифр 1,3,4,5,7,9, если в каждом из этих чисел ни одна из цифр не повторяется ?

3.26. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

3.27. Сколькими способами можно разложить 8 различных писем в 8 различных конвертов, если в каждый конверт кладётся только одно письмо?

3.28. Сколько биекций f:{1,...,n}{1,...,n} удовлетворяет условию:

а) f(1)2?

б) f(1)=2, f(2)1?

в) f(1)2, f(2)1?

г) f чётные числа переводит в чётные, а нечётные в нечётные?

Решение. а) Биекция f кодируется кортежем (f(1),...,f(n)) первый элемент которого можно выбрать (n-1)-м способом, если первый элемент кортежа выбран, то второй элемент кортежа может быть выбран (n-1)-м способом, если первые два элемента кортежа выбраны, то третий может быть выбран (n-2) способами, и т.д., если первые n-1 элементы кортежа выбраны, то n- й элемент кортежа может быть выбран 1 способом. Поэтому искомое число равно (n-1)!(n-1)!.

г) Чётных чисел существует , нечётных чисел существует . Биекция f кодируется кортежем (f ,f ), где f - биекция, переводящая чётные числа в чётные числа, f - биекция, переводящая нечётные числа в нечётные числа. Число биекций f равно !, число биекций f равно ( )!. Поэтому искомое число равно ! ( )!.

3.29. Сколько будет, если сложить все пятизначные числа:

а) полученные из числа 23571 перестановками его цифр?

б) полученные из числа 12340 перестановками его цифр?