2.7. Сколько существует различных:

а) шестизначных телефонных номеров не содержащих рядом расположенных одинаковых цифр ?

б) шестизначных телефонных номеров не содержащих рядом расположенных одинаковых цифр и не содержащих цифры 0 ?

в) шестизначных телефонных номеров не содержащих рядом расположенных одинаковых цифр и не содержащих цифр 0 и 9 ?

г) шестизначных телефонных номеров не содержащих рядом расположенных одинаковых цифр и не содержащих цифр 0,1,8,9 ?

д) шестизначных телефонных номеров не содержащих рядом расположенных одинаковых цифр и не начинающихся с цифр 0 и 8 ?

е) шестизначных телефонных номеров не содержащих рядом расположенных одинаковых цифр и не начинающихся с цифр 0,5,8 ?

Решение. б) Телефонный номер кодируется кортежем ( , где - первая цифра номера,..., - шестая цифра номера. Цифра может быть выбрана 9 способами; если цифра выбрана, то цифра может быть выбрана 8 способами; если цифры и выбраны, то цифра может быть выбрана 8 способами; и т. д. ; если цифры выбраны, то цифра может быть выбрана 8 способами. Искомое число равно 294 912. 

2.8. Сколько различных "слов" длины k, не содержащих рядом расположенных одинаковых букв, можно составить из n букв ?

Ответ. .

2.9. Если повернуть лист бумаги на 180^о, то цифры 6 и 9 переходят друг в друга, цифры 0,1,8 не меняются, остальные цифры теряют смысл.

а) Сколько существует семизначных чисел величина которых не меняется при повороте на 180^о ?

б) Сколько существует восьмизначных чисел величина которых не меняется при повороте на 180^о ?

в) Сколько существует девятизначных чисел величина которых не меняется при повороте на 180^о ?

Решение. а) Такие числа кодируются кортежем ( , где - первая, - вторая,..., - последняя цифра числа. Цифра может быть выбрана 4 способами; если цифра выбрана, то цифра может быть выбрана 5 способами; если цифры и выбраны, то цифра может быть выбрана 5 способами; если цифры , , выбраны, то цифра может быть выбрана 3 способами; если цифры , , , выбраны, то цифры выбираются единственным образом. Поэтому искомое число равно . 

2.10. Сколько существует целых чисел от 0 до в десятичных разложениях которых нет двух одинаковых соседних цифр ?

Решение. Число однозначных чисел, в которых нет двух одинаковых соседних цифр, равно 10. Число двузначных чисел, в которых нет двух одинаковых соседних цифр, равно . Число трёхзначных чисел, в которых нет двух одинаковых соседних цифр, равно . И т. д. Число n-значных чисел, в которых нет двух одинаковых соседних цифр равно . Поэтому искомое число равно

. 

2.11. Пятнадцать занумерованных бильярдных шаров разложены по шести лузам. Скольким способами это можно сделать ?

Ответ. 470 184 984 576. 

2.12. Сколько существует различных матриц:

а) с элементами 0, 1 ?

б) с элементами -1, 0, 1 ?

в) с элементами 1, 2,..., k ?

Решение. а) Каждая такая матрица кодируется функцией, определённой на множестве мест матрицы, и принимающей значения в множестве {0,1}. Поэтому искомое число равно . 

2.13. Сколько трёхзначных натуральных чисел можно составить из цифр:

а) 0,1,2,3,4,5,6 ?

б) 0,2,4,6,8 ?

в) 1,3,5,7,9 ?

Ответ. а) . 

2.14. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр:

а) 0,1,2,3,4,5,6 ?

б) 0,2,4,6,8 ?

в) 1,3,5,7,9 ?