Задачник

1. Комбинаторные функции. Правило суммы.

1.1 Заполнить таблицу значение n!, где 0n15:

0!=1; 10!=3628800;

1!=1; 11!=39916800;

2!=2; 12!=

3!=6; 13!=

4!=24; 14!=

5!=120; 15!=

6!=720;

7!=5040;

8!=40320;

9!=362880;

1.2. Проверить, что для n, mN , m  n:

а) (n+1)!=(n+1)n!;

б) (n+2)!=(n+2)(n+1)n!;

в)

1.3. Упростить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

1.4. Решить уравнение:

а)

б).

1.5. Решить неравенство

.

1.6. Проверить, что:

а) , для n, kN , k  n;

б) , для n, kN, k  n;

в) .

1.7. Упростить:

а) ;

б) .

1.8. Решить уравнение:

а)

б)

в) =625.

1.9. Решить неравенство .

1.10. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

1.11. Экзамены по трём предметам: алгебре, биологии и химии сдавали 41 студент. Следующая таблица показывает, сколько студентов провалились на каждом предмете, и их различные комбинации:

Предмет А Б Х АБ АХ БХ АБХ

Количество 12 5 8 2 6 3 1

провалившихся

(К примеру, 5 студентов провалились по биологии, среди них 3 провалившихся как по биологии, так и по химии, и только один из этих трёх провалился по всем трём предметам).

Сколько студентов сдали все три экзамена?

2. Теоремы умножения (кортежи, выборки, размещения с повторениями).

2.1. Сколько существует различных:

а) шестизначных телефонных номеров ?

б) шестизначных телефонных номеров не содержащих цифры 0 ?

в) шестизначных телефонных номеров не содержащих цифр 0 и 9 ?

г) шестизначных телефонных номеров не содержащих цифр 0,1,8,9 ?

д) шестизначных телефонных номеров не начинающихся с цифр 0 и 8 ?

е) шестизначных телефонных номеров не начинающихся с цифр 0,5,8 ?

Решение.

б) Телефонный номер кодируется кортежем ( , где - первая цифра номера,..., - шестая цифра номера,

{1,2,...,8}.

Искомое число равно 262 144. 

д) Телефонный номер кодируется кортежем , где - первая цифра номера,..., - шестая цифра номера. Первую цифру можно выбрать 8 способами, каждую из цифр можно выбрать 10 способами. Искомое число равно 8 . 

2.2. Скольким числом способов можно разделить:

а) 6 различных конфет между 4 детьми ?

б) 8 различных конфет между 3 детьми ?

Решение. а) Раздел конфет кодируется функцией определённой на множестве конфет и принимающей значения в множестве детей. Таких функций существует =4096. 

2.3. Скольким числом способов можно разложить:

а) 11 различных предметов по 4 ящикам ?

б) n различных предметов по k ящикам ?

Решение. б) Разложение предметов по ящикам кодируется функцией определённой на множестве предметов и принимающей значения в множестве ящиков. Таких функций существует . 

2.4. Скольким числом способов можно выбрать старосту и профорга в группе из 25 студентов ?

2.5. В некотором сказочном царстве не было двух человек с одинаковым набором зубов. Каково могло быть наибольшее число жителей этого царства, если у человека 32 зуба ?

Решение. Перенумеруем некоторым способом 32 зуба: з1,..., з32. Каждый житель царства может быть закодирован кортежем длины 32 из элементов множества {0,1}, на i- й элемент кортежа равен 1, если у человека есть зуб

зi, i- й элемент кортежа равен 0, если у человека нет зуба зi. Наибольшее число таких кортежей равно 4 294 967 296. 

2.6. Сколько различных "слов" длины k можно составить из n различных

букв ?

Ответ: . 