П.10. Числа Стирлинга второго рода.

Определение. Разбиением множества U называется семейство множеств

 = { } такое, что:

1. для всех i = 1,..., k;

2. для всех i  j;

3. .

Множества называются блоками разбиения , пишем

= . 

Пример 1. Выпишем все разбиения 3-х элементного множества

U = { }:

1|2|3; 1|2,3; 2|1,3; 3|1,2; 1,2,3| . 

Определение. Числа Стирлинга второго рода для всех n, kN определены условиями:

для всех nN ;

равно числу всех разбиений n элементного множества на k блоков для всех n, kN.

Из определения чисел Стирлинга второго рода следует, что:

для всех k n;

для всех nN;

для всех nN;

для всех nN;

для всех n N .

Теорема 1. Для всех n, kN

. (1)

Доказательство. Пусть U={ } есть n+1 элементное множество. Рассмотрим все разбиения множества U на k блоков.

Число всех тех разбиений множества U на k блоков у которых есть блок

{ } равно .

Подсчитаем число всех тех разбиений множества U на k блоков в которых элемент лежит в некотором блоке мощности 1. Каждое такое разбиение можно получить из разбиения множества { } на k блоков добавляя элемент в один из k блоков. Поэтому число всех разбиений множества U на k блоков в которых элемент лежит в некотором блоке мощности 1 равно .

Из выше доказанного следует (1). 

Равенство (1) даёт удобный рекуррентный способ вычисления чисел Стирлинга второго рода, аналогичный треугольнику Паскаля.

Таблица чисел Стирлинга второго рода.

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7	r = 1 1 1 1 1 1 1 1	r = 2 1 3 7 15 31 63	r = 3 1 6 25 90 301	r = 4 1 10 65 350	r = 6 1 15 140	r = 7 1 21	r = 8 1

Определение. Если - разбиение множества U, то кортеж ( называется упорядоченным разбиением множества U на k блоков.

Число упорядоченных разбиений n элементного множества на k блоков равно .

Теорема 2. Пусть A, B- конечные множества, |A| = n, |B| = k. Тогда число всех сюръекций f AB равно .

Доказательство. Обозначим элементы множества B = { }. Сюръекцию f AB зададим табличным способом

,

где кортеж является упорядоченным разбиением множества A на k блоков, отсюда следует нужное утверждение. 

Свойства чисел Стирлинга второго рода.

1. Для всех kN , nN справедливо равенство

. (2)

Доказательство. Пусть k, nN. Вычислим двумя способами P- число всех функций f {1,...,n}{1,...,k}.

По следствию 2 п.3, P = .

Каждая функция f{1,...,n}{1,...,k} разбивает множество {1,...,n} на r блоков на которых функция f постоянна, 1 r  k. Поэтому функция f определяет инъекцию f :{ }{1,...,k}, где f ( ) = f(b) для любого b . Верно и обратная, каждая инъекция  f :{ }{1,...,k} определяет функцию f{1,...,n}{1,...,k}, где f(b) =f( ) для b . Поэтому

.

Из выше доказанного следует равенство (1). 

2. Для всех nN справедливо равенство многочленов

. 

3. Для всех n, kN

. (3)

Доказательство. Пусть n фиксировано. Из свойства 1 следует, что

, kN .

Перепишем это равенство в виде

, kN .

Применяя к последнему равенству биномиальное обращение из п. 8 получим равенства (3). 

Число разбиений данного типа.

Определение. Пусть  - разбиение n элементного множества U. Если  содержит блок мощности 1, блоков мощности 2,..., блоков мощности n, то кортеж ( , ,..., )N называется типом разбиения .

Если ( , ,..., ) - тип некоторого разбиения n элементного множества, то .

Пример 1. Тип разбиения =3|1,2 равен (1,2,0). 

Обозначение. Обозначим число всех разбиений n элементного множества имеющих тип ( , , ..., ).

Теорема 3. Для всех nN, ( , ,..., )N таких, что

, справедливо равенство

. (4)

Доказательство. Докажем равенство (4) индукцией по числу n.

Если n = 1, то равенство (4) очевидно выполнено.

Предположим, что равенство (4) доказано для числа n - 1 и докажем его для числа n.

Пусть U = { } - n- элементное множество, ( , ,..., )N , . Имеем или .

Докажем равенство (4) для . В этом случае равно числу разбиений множества U не имеющих блока мощности n. Каждое такое разбиение можно получить из разбиений множества следующими способами.

1-й способ. К каждому разбиению множества V типа добавим блок { }. Легко видеть, учитывая индукционное предположение, что число таких разбиений равно

.

2-й способ. В каждом разбиении множества V типа добавим элемент в один из блоков мощности 1. Легко видеть, учитывая индукционное предположение, что число таких разбиений равно

.

И т.д.

(n-1)-й способ. В каждом разбиении множества V типа добавим элемент в один из блоков мощности n - 2. Легко видеть, учитывая индукционное предположение, что число таких разбиений равно

.

Из выше доказанного следует

= =

= =

= =

= ,

что совпадает с равенством (4) при = 0.

Если = 1, то и равенство (4) очевидно выполнено. 