П.9. Числа Стирлинга первого рода.

Коэффициенты многочлена называются числами Стирлинга первого рода и обозначаются они определяются равенствами

.

Из определения чисел Стирлинга первого рода следует, что:

для всех nN ;

для всех nN;

для всех nN;

для всех n N .

Теорема 1. Справедливы утверждения:

1. Для всех nN числа отличны от 0 и имеют чередующиеся знаки.

2. Для всех n, kN

. (1)

Доказательство. 1. Имеем

Из последнего равенства следует, что у многочлена коэффициенты при положительны. Из предыдущих равенств следует, что

.

2. Имеем

Приравнивая коэффициенты при в правых частях последних равенств получаем нужное утверждение. 

Равенство (1) даёт удобный рекуррентный способ вычисления чисел Стирлинга первого рода, аналогичный треугольнику Паскаля.

Таблица чисел Стирлинга первого рода.

Sn,r n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7	r=1 1 -1 2 -6 24 -120 720	r=2 1 -3 11 -50 274 -1764	r=3 1 -6 35 -225 1624	r=4 1 -10 85 -735	r=5 1 -15 175	r=6 1 -21	r=7 1

Заметим, что удобных простых формул для вычисления чисел Стирлинга первого рода не найдено.

Теорема 2. Число всех подстановок степени n, раскладывающихся в произведение k циклов, равно .

Доказательство. Из равенства (1) следует, что двойная последовательность , где удовлетворяет рекуррентному уравнению

, 1 k  n+1, (2)

с начальными и граничными условиями:

для всех nN. (3)

Заметим, что рекуррентное уравнение, начальные и граничные условия полностью определяют двойную последовательность .

Обозначим, для n, kN, - число всех подстановок степени n, раскладывающихся в произведение k циклов. Положим , имеем , .

Рассмотрим те подстановки степени n+1, раскладывающиеся в произведение k циклов, у которых число n+1 расположено в цикле длины 1. Таких подстановок существует .

Рассмотрим те подстановки степени n+1, раскладывающиеся в произведение k циклов, у которых число n+1 расположено в цикле длины 1. Такие подстановки можно получить из подстановок степени n, раскладывающихся в произведение k циклов, размещая число n+1 на n местах в циклах. Число таких подстановок равно .

Из выше доказанного следует, что , т.е. последовательность удовлетворяет рекуррентному уравнению (2) с начальными и граничными условиями (3). Поэтому для всех 1 k  n. 