П.8. Полиномиальная теорема.

Пусть K = ( K, + ,  , - , 0) - кольцо, aK, nN . Напомним, что обозначает n - кратное элемента a.

Теорема 1. (Полиномиальная теорема) Пусть K = ( K, + ,  , - , 0) - коммутативное кольцо, a ,...,a K, n N . Тогда

(1)

где суммирование ведётся по всем N таким, что .

Доказательство. Имеем

, (2)

где произведение содержит n множителей. Перемножая скобки по законам дистрибутивности, учитывая коммутативность и ассоциативность умножения получим, что произведение (2) состоит из слагаемых вида

, (3)

где . Подсчитаем число слагаемых, заданных равенством (3), которое получится после перемножения скобок в (2). Каждое слагаемое, заданное равенством (3), кодируется кортежем , таким , что: ; если , то в первой скобке произведения (2) выбирается слагаемое , ..., если , то в n- ой скобке произведения (2) выбирается слагаемое ; выбранные таким образом слагаемые перемножаются и результатом их умножения является произведение заданное равенством (3). Кортеж является перестановкой с повторениями состава множества . Поэтому число слагаемых, заданных равенством (3), в произведении (2) равно

. 

Следствие 1. Число слагаемых в сумме (1) равно .

Доказательство. Число слагаемых в сумме (1) равно числу кортежей N и таких, что . По следствию 1 п.7, число таких кортежей равно . 

Следствие 2. Пусть K = ( K, + ,  , - , 0) - коммутативное кольцо, содержащее подкольцо целых чисел, a ,...,a K, n N . Тогда

где суммирование ведётся по всем N таким, что .

Доказательство. В кольце K для любых aK, m N имеем . 

Свойства полиномиальных коэффициентов.

1. Для  n, k N

,

где суммирование ведётся по всем N таким, что .

Доказательство. Полагая в следствии 2 (над числовым полем) получаем нужное утверждение. 

2. Для  n, k N = + +...+ .

(Если хотя бы один из индексов полиномиального коэффициента меньше 0, то мы считаем, что полиномиальный коэффициент равен 0).

Доказательство. Доказательство производится непосредственным преобразованием правой части к левой. 

Биномиальная теорема.

Теорема 2. Пусть K = ( K, + ,  , - , 0) - коммутативное кольцо, a, bK,

n N . Тогда

. (4)

Доказательство. Из полиномиальной теоремы следует, что

, (5)

где суммирование ведётся по всем (r₁,r₂) N таким, что . Обозначим . Имеем 0rn,

.

Поэтому равенство (5) можно записать в виде (4). 

Из выше доказанного следует справедливость следствия 3.

Следствие 3. Пусть K = ( K, + ,  , - , 0) - коммутативное кольцо, содержащее подкольцо целых чисел, a,bK, n N . Тогда

.  (6)

Свойства биномиальных коэффициентов.

1. n N .

Доказательство. Применяя биномиальную теорему в кольце целых чисел (равенство (6)), при a = b = 1, получаем нужное утверждение. 

Свойство 1 даёт новое доказательство того факта, что число всех подмножеств n элементного множества равно .

2. n N .

Доказательство. Применяя биномиальную теорему в кольце целых чисел (равенство (6)), при a = -1, b = 1, получаем нужное утверждение. 

3. Биномиальное обращение. Пусть K = ( K, + ,  , - , 0) - коммутативное кольцо, содержащее подкольцо целых чисел. Для любых последовательностей , элементов кольца K, если

, n N , (8)

то

, n N . (9)

Доказательство. Докажем, что из равенств (8) следуют равенства (9). Имеем

При вычислении использовано 4- ое основное свойство биномиальных коэффициентов из п.1 и свойство 2 биномиальных коэффициентов из этого пункта.

Аналогичным образом доказывается, что равенства (9) являются следствием равенств (8). 