П.6. Перестановки с повторениями.

Определение. Кортеж  = (b ,...,b ) называется перестановкой с повторениями состава (n ,...,n ) множества {a ,...,a }, если элемент a входит в  n раз,..., a входит в  n раз, где n ,...,n N , .

Пример 1. Выпишем все перестановки с повторениями состава (2,2) множества {a ,a }:

(a ,a ,a ,a ), (a ,a ,a ,a ), (a ,a ,a ,a ),

(a ,a ,a ,a ), (a ,a ,a ,a ), (a ,a ,a ,a ). 

Обозначение. Обозначим P(n ,...,n ) число всех перестановок с повторениями состава (n ,...,n ) некоторого k - элементного множества, где n = = n +...+n .

Теорема 1. Для любого (n ,...,n )N

P(n ,...,n ) = n!/n !...n ! , где n = n +...+n .

Доказательство. Перестановка (b ,...,b ) состава (n ,...,n ) множества {a ,...,a } кодируется кортежем длины k : на первом месте кортежа записано множество тех мест в перестановке на которых расположен элемент ; на втором месте кортежа записано множество тех мест в перестановке на которых расположен элемент ; ...; на k - ом месте кортежа записано множество тех мест в перестановке на которых расположен элемент . Первый элемент кортежа может быть выбран способами; если первый элемент выбран, то второй можно выбрать способами; ...; если первые элементов выбраны, то k- ый элемент может быть выбран способами. По правилу произведения получаем, что число всех перестановок с повторениями состава (n ,...,n ) из {a ,...,a } равно

P(n ,...,n ) = ... =

= 

Обозначение. Для  n ,...,n N полиномиальный коэффициент определяется равенствами:

если n +...+ n = n, то

;

если n +...+ n  n, то

. 

Следствие 1. Пусть A и B- конечные множества такие, что |A| = n, |B| = k, (n ,...,n )N , n +...+ n = n, B = {b ,...,b }. Тогда число всех функций

f    таких, что |f (b )| = n для всех i = 1,...,k, равно

.

Доказательство. Пусть A={a ,...,a }. Запишем функцию f    в табличном виде

.

Кортеж (f(a ),...,f(a )) есть перестановка с повторениями состава (n ,...,n ) множества {b ,...,b }. 

Следствие 2. Пусть U- конечное множество, |U| = n. Тогда число кортежей множеств (A ,...,A ) таких, что

|A | = n ,..., |A | = n ,

|A A | =  для всех i  j,

A ...A = U,

равно

.

Доказательство. По теореме 2 п.3 число таких кортежей равно

... = . 

П.7. Мультимножества (сочетания с повторениями).

Отказ от различимости элементов множества приводит к понятию мультимножества, т.е. под мультимножеством мы понимаем совокупность элементов среди которых могут быть одинаковые (неразличимые). Всякое мультимножество A можно представит его основанием base(A), т.е. множеством всех его различных элементов и функцией  base(A)  N такой, что (a) равно кратности элемента a - числу повторений элемента a в мультимножестве A.

Способы задания мультимножества аналогичны способам задания множества. Например, мультимножество A = {a , a , a , a , a , a } имеет основание base(A) = {a , a , a } и кратности (a ) = 3, (a ) = 2, (a ) = = 1. Число элементов конечного мультимножества равно числу элементов в нём учитывая их кратность и обозначается |A|.

Два мультимножества называются равными, если равны их основания и равны функции кратности (достаточно потребовать равенства функций кратности). Мультимножество не содержащее элементов называется пустым, пустое мультимножество единственно и обозначается , || = 0.

Пусть B = {b ,...,b } - множество, |B| = n.

Определение. Мультимножество A, содержащее k элементов и такое, что base(A)  B называется сочетанием с повторением из n элементов множества В по k.

Пример 1. Пусть B = {b ,b ,b } - множество, |B| = 3. Выпишем все 2-х элементные сочетания с повторениями из множества B:

{b , b },{ b , b },{ b , b },{ b , b },{ b , b },{ b , b }. 

Обозначение. Обозначим число всех k элементных сочетаний n элементного множества. 

Имеем

N ,

N,

N.

Теорема 1. Для всех k, n N

. (1)

Доказательство. Каждое мультимножество A такое, что base(A) B, |A| = = k, кодируется кортежем ((b ),..., (b ))N таким, что (b ) + ... + +(b ) = k. Поэтому равно числу кортежей (r ,...,r ) N и таких, что . Докажем равенство

= + . (2)

Кортежи N и такие, что бывают двух сортов.

Кортежи первого сорта это те кортежи у которых . Число таких кортежей равно числу кортежей N и таких, что и поэтому равно .

Кортежи второго сорта это те кортежи у которых . Их число равно числу таких кортежей N у которых и поэтому равно .

Из выше доказанного следует справедливость равенства (2).

Докажем теперь равенство (1) индукцией по числу m = k + n.

Для m = 2, k = n = 1 и равенство (1) очевидно выполнено.

Пусть равенство (1) доказано для числа m и докажем его для числа m + 1. Из равенства (2) индукционного предположения и свойства 3 биномиальных коэффициентов следует, что

= + =

По индукции равенство (1) доказано. 

Следствие 1. Число кортежей N и таких, что равно

. 

Следствие 2. Число кортежей N и таких, что равно

. 

Доказательство. Число кортежей N и таких, что равно числу кортежей N и таких, что . По следствию 1 искомое число равно . 

Следствие 3. Число всех мультимножеств A таких, что |A| = k, base(A) = =B равно .

Доказательство. Каждое мультимножество A такое, что |A| = k, base(A) = =B кодируется кортежем ((b ),..., (b )) N , где (b )+...+(b ) = k. По следствию 2 число таких кортежей равно . 

Определение. Мультимножество A называется подмультимножеством мультимножества B, пишем A B, если base(A) является подмножеством base(B) и кратность любого элемента в мультимножестве A не превосходит его кратности в мультимножестве B. 

Теорема 2. Пусть A- мультимножество, base(A)={ }, ( )= , ..., . Тогда число всех подмультимножеств мультимномножества A равно .

Доказательство. Каждое подмультимножество B мультимножества A кодируется кортежем N , где - кратность ,..., - кратность в мультимножестве B, ,..., . Искомое число равно числу таких кортежей и равно . 