П.2. Правило суммы.

Обозначение. Пусть A- конечное множество. Обозначим |A| - число элементов в множестве A (мощность множества A). Полагаем || = 0.

Пусть A, B - конечные множества. |A| = |B| тогда и только тогда, когда существует биекция f: A  B.

Пусть A, B - конечные множества. Тогда число элементов в множестве равно

|AB| = |A| + |B| - |AB|. (1)

Действительно, |A|+|B| - число элементов в множествах A и B, при этом общие элементы множеств A и B, т.е. элементы множества AB, подсчитывались дважды. Поэтому справедлива формула (1).

Пусть A, B - подмножества конечного множества . Из (1) следует, что число элементов не принадлежащих множеству равно

. (2)

Из (1) следует, что для любых конечных множеств A,B,C число элементов в множестве равно

|ABC| = |A| + |B| + |C| - |AB| - |AC| -|BC| + |ABC|. (3)

Действительно, применяя несколько раз (1) получаем, что

|ABC| = |(AB)C| = |AB| + |C| - |(AB)C| = |AB| + |C| -

- |(AC) (BC)| =

= |A| + |B| - |AB| + |C| - |(AC)| - |BC)| + | (AB) (BC)| .

Пусть A, B, C - подмножества конечного множества . Из (1) следует, что число элементов не принадлежащих множеству равно

. (4)

Аналогичным образом проверяется справедливость следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть A ,..., A - подмножества конечного множества . Справедливы утверждения:

i) Число элементов в множестве равно

, (5)

где суммирование ведётся по всем кортежам N таким, что

.

ii) Число элементов не принадлежащих множеству равно

, (6)

где суммирование ведётся по всем кортежам N таким, что

. 

Равенства (1) - (6) называются формулами включения-исключения.

Следствие 1. Пусть A ,..., A - конечные множества такие, что

A  A = для всех i  j. Тогда

|A ...A | = |A | +...+ |A |.  (7)

Обычно равенство (7) называют правилом суммы.

П.3. Правило произведения.

(кортежи, упорядоченные наборы, выборки, размещения с повторениями).

Теорема 1. Пусть A ,..., A - конечные множества, kN. Тогда

|A ...A |=|A |...|A |. (1)

Доказательство. Доказательство производится индукцией по k.

При k = 1 равенство (1) выполнено.

Предположим, что равенство (1) доказано для числа k.

Докажем равенство (1) для числа k + 1. Число |A ...A | равно числу кортежей (a ,...,a ,a ), где a A ,..., a A , a A . Подсчитаем число таких кортежей с фиксированным a . Это число равно числу кортежей (a ,...,a ), где a A ,..., a A , т.е. равно |A ...A | равному, по индукционному предположению, |A |...|A |. Т.к. a может быть выбран |A | способами, то

|A ...A | = |A |...|A ||A |.

Равенство (1) доказано индукцией для всех kN. 

Следствие 1. Пусть A - конечное множество, kN. Тогда

|A | = |A| . 

Определение. Кортеж (a ,...,a ) A называется k- выборкой из множества A. Иногда k- выборки называют размещениями с повторениями. 

Пример 1. Пусть A={a ,a ,a }. Выпишем все 2- выборки из множества A:

(a ,a ), (a ,a ), (a ,a ),

(a ,a ), (a ,a ), (a ,a ),

(a ,a ), (a ,a ), (a ,a ). 

Обозначение. Символ обозначает число всех k- выборок из n- элементного множества.

Обозначение. Пусть C и D- конечные множества, C- множество, число элементов которого перечисляются (подсчитываются), D- множество, число элементов которого мы умеем перечислить. Тогда биекция f  C  D называется кодированием множества C, говорим, что элементы множества D кодируют элементы множества C, элементы множества C кодируются элементами множества D.

Число элементов в множестве C равно числу элементов в множестве D.

Следствие 2. Справедливы утверждения:

1. = n .

2. Если A и B - конечные множества, то число функций f  B  A равно

|A| .

Доказательство. 1. Множество всех k- выборок из n- элементного множества A равно A . Поэтому = | A | = |A| = n .

2. Пусть B = {b ,...,b } - k- элементное множество, функция f BA. Функцию f можно записать в табличном виде

,

где есть k- выборка из множества A. Поэтому число всех функций f  B  A равно | A |= |A| = |A| . 

Следствие 3. Число всех подмножеств n- элементного множества равно 2 .

Доказательство. Пусть A ={a ,...,a } есть n- элементное множество. Каждое подмножество множества A кодируется кортежем (s ,...,s ), где s = 1, если a принадлежит подмножеству, s = 0, если a не принадлежит подмножеству. Число таких кортежей равно 

Теорема 2. Если первую координату кортежа длины k можно выбрать n способами, при любом выборе первой вторая координата может быть выбрана n способами, при любом выборе первых двух координат третья может быть n способами и т.д. до k- ой координаты включительно, то общее число полученных таким образом кортежей равно n n ...n .

Доказательство. Доказательство проводится индукцией по числу k.

Для k = 1 утверждение очевидно выполнено.

Предположим, что утверждение справедливо для числа k и докажем его для числа k+1. Подсчитаем число построенных таким образом кортежей (a₁,...,a ,a ) c фиксированной последней координатой a . Число таких кортежей равно числу кортежей (a ,...,a ), по индукционному предположению оно равно n ...n . Т.к. элемент a может быть выбран n способами, то число всех кортежей (a ,...,a ,a ) равно n ...n n .

Теорема доказана по индукции. 

Пример 2. Пусть |A| = n. Сколько существует кортежей из k элементов множества A, не содержащих рядом расположенных одинаковых элементов? Первая координата кортежа может быть выбрана n способами, если первая координата выбрана, то вторая может быть выбрана n-1 способом, если первые две координаты выбраны, то третья координата может быть выбрана n-1 способом и т.д. до k- ой координаты включительно. По теореме 2 искомое число равно n(n-1) . 

Теоремы и следствия этого пункта обычно называют правилами произведения.

п.4. r- перестановки, перестановки.

Определение. r- перестановкой множества A называется кортеж из r попарно различных элементов множества A. Иногда r- перестановки называют размещениями без повторения.

Если (a ,...,a ) есть r- перестановка n- элементного множества, то r  n.

Пример 1. Пусть A = {a ,a ,a } - 3-х элементное множество. Выпишем все 2- перестановки множества A:

(a ,a ), (a ,a ), (a ,a ),

(a ,a ), (a ,a ), (a ,a ). 

Обозначение. Обозначим P(n, r) число всех r- перестановок n- элементного множества, где n, rN. Положим P(n,0) = 1 для nN₀.

Теорема 1. Число всех r- перестановок n- элементного множества, где

n, rN, вычисляется по формуле

P(n, r) = n = n(n -1)...(n - r + 1). (1)

Доказательство. Первая координата r- перестановки n- элементного множества может быть выбрана n способами, если первая координата выбрана, то вторая координата может быть выбрана n-1 способами, если выбраны первые две координаты, то третья координата может быть выбрана n-2 способами и т.д. до r- ой координаты включительно, которая может быть выбрана n-r+1 способами. Из теоремы 2, п.3, следует равенство (1). 

Следствие 1. Пусть A и B- конечные множества, |A| = n, |B| = r, где

n, r N. Тогда число всех инъекций f B  A равно P(n, r) = n .

Доказательство. Обозначим B={b ,...,b }, инъекция f B A может быть записана в табличной форме

,

где кортеж есть r- перестановка множества A. Поэтому искомое число равно P(n, r). 

Определение. Пусть A есть n- элементное множество. Перестановкой множества A называется n- перестановка множества A. Другими словами, перестановка множества A это кортеж содержащий все элементы множества A по одному разу.

Пример 2. Пусть A = {a ,a ,a } есть - 3-х элементное множество. Выпишем все перестановки множества A:

(a ,a ,a ), (a ,a ,a ), (a ,a ,a ),

(a ,a ,a ), (a ,a ,a ), (a ,a ,a ). 

Следствие 2. Число всех перестановок n- элементного множества равно n!.

Доказательство. Искомое число равно P(n, n) = n = n(n-1)...(n-n+1) =

= n!. 

Следствие 3. Пусть A и B- конечные множества, |A| = |B| = n, nN. Тогда число всех биекций f B  A равно n!.

Доказательство. Т.к. |A| = |B|, то каждая биекция f B  A является инъекцией и наоборот. По следствию 1, искомое число равно P(n, n) = n!. 

п.5. r -элементные подмножества (r - сочетания).

Определение. Пусть A- конечное множество. r- сочетанием множества A называется любое r- элементное подмножество множества A.

Пример 1. Пусть A= {a ,a ,a } - 3-х элементное множество. Выпишем все 2- сочетания множества A: {a ,a }, {a ,a }, {a ,a }. 

Теорема 1. Пусть A есть n- элементное множество, n, rN . Справедливы утверждения:

1. Число всех r- сочетаний n- элементного множества равно .

2. Число всех r- элементных подмножеств n- элементного множества равно .

Доказательство. Обозначим K- число всех r- сочетаний n- элементного множества A. Каждое r- элементное подмножество n- элементного множества A определяет r! перестановок множества A, при этом разные подмножества определяют разные перестановки. Поэтому Kr! - число всех r- перестановок множества A, равное n . Отсюда следует, что K = n / r! = = . 

Пример 1. Каждый кортеж N , где , кодируется k-элементным подмножеством множества . Поэтому, при фиксированном k, число всех кортежей N , где , равно . 

Пример 2. Перечисление беспорядков степени n. Обозначим U- множество всех перестановок степени n, . Будем считать, что элементами перестановок являются числа . Перестановка степени n называется беспорядком, если для всех .

Существует только один беспорядок степени 2.

Существует только два беспорядка степени 3.

Для обозначим множество всех перестановок степени n таких, что . Число всех беспорядков степени n равно числу всех перестановок степени n не принадлежащих множеству . Обозначим число всех беспорядков степени n. По формуле включения- исключения

, (1)

где суммирование ведётся по всем кортежам N таким, что

. Легко видеть, что для любого кортежа N , где справедливо равенство

.

При фиксированном k число всех кортежей N , где , равно . Из равенства (1) следует, что

.

Поэтому

. 