Глава II Элементы комбинаторики (теория и практика)

Комбинаторика одна из самых древних ветвей математики. Например, ещё математикам Древнего Востока были известны формулы для подсчёта числа r- сочетаний и формула бинома Ньютона с натуральным показателем степени. В работах Б. Паскаля и П. Ферма по теории азартных игр комбинаторные понятия были положены в основу теории вероятностей. Большой вклад в развитие комбинаторных методов был сделан Г. Лейбницем, Я. Бернулли, Л. Эйлером.

В 50-х годах началось бурное развитие комбинаторики, которое продолжается и в наше время. Этот всплеск интереса вызван развитием кибернетики, дискретной математики, теории планирования, теории информации и т.д. Несмотря на интенсивное изучение содержание и предмет комбинаторики пока окончательно не определены. Происходит быстрое расширение границ комбинаторики, в неё включаются всё новые области математики, создаются всё более общие комбинаторные методы.

Отметим, что в литературе по комбинаторике имеется огромный разнобой в определении понятий. Одни и те же объекты определяются разными терминами, например, кортеж может называться выборкой, перестановкой с повторениями, упорядоченным множеством и т.д. Это многообразие терминов вызвано тем, что наряду с теоретико-множественной терминологией сохранилась и продолжает использоваться более старая терминология.

В главе II, на основе теории множеств, строится теория основных комбинаторных понятий, которая используется в большинстве математических курсов в пединституте, входит в программу физико-математических классов и факультативных курсов средней школы.

П.1. Комбинаторные функции.

Определение. Символ Кронекера определяется равенствами:

Определение. Число n! (читается "n-факториал"), определяется равенствами:

Определение. Многочлен x - убывающий факториал из х по n, определяется равенствами:

Определение. Многочлен - возрастающий факториал из x по n, определяется равенствами:

x ⁽⁰⁾ = 1.

Легко проверить, что многочлены x и имеют степень n и связаны равенством

, nN .

Биномиальные коэффициенты.

Определение. Для n, kN , k  n, биномиальный коэффициент (читается биномиальный коэффициент из n по k) определяется равенством

Для всех других значений n, k мы полагаем .

Основные свойства биномиальных коэффициентов.

1. Для n, kN , k  n,

.

Доказательство. Имеем . 

2. , nN ,

, nN.

, n, kN , k  n.

Доказательство. Имеем

, ,

, .

. 

3. , .

Доказательство. Имеем

. 

4. , .

Доказательство. Имеем

. 

5. Если n- чётное, то

.

Если n- нечётное, то

. 

Свойство 3 даёт удобный рекуррентный способ вычисления биномиальных коэффициентов, который осуществляется с помощью треугольника Паскаля. В n- ой строке треугольника Паскаля расположены биномиальные коэффициенты

.

Треугольник Паскаля.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1