Тема. Изгиб с кручением Указания к задаче 6

Силы, действующие на валы в зубчатых и ременных пере­дачах, приводят к появлению нормальных и касательных на­пряжений в поперечных сечениях вала.

При расчете на совместное действие изгиба и кручения, как правило, учитывают нормальные напряжения от действия изгибающего момента и касательные напряжения от действия крутящего момента. Касательными напряжениями от попе­речной силы при расчетах валов обычно пренебрегают из-за малости этих напряжений по сравнению с касательными на­пряжениями от кручения.

Наибольшие напряжения от кручения и изгиба возникают на поверхности вала. Каждое из этих напряжений, взятое в отдельности, может быть меньше допускаемого напряжения, но одновременное их действие может оказаться опасным для вала. При совместном действии изгиба и кручения определя­ют приведенное или эквивалентное напряжение, используя для пластичных материалов третью или четвертую теорию прочности, а для хрупких — теорию прочности Мора.

Если внешние силы, действующие на вал, не лежат в од­ной плоскости, то каждую из них раскладывают на составля­ющие: вертикальную и горизонтальную. Чтобы установить опасные сечения, строят эпюры крутящих моментов Т_к и из­гибающих моментов в двух плоскостях — вертикальной М_в и горизонтальной м_г.

Далее строят эпюры результирующего суммарного изги­бающего момента М∑

В общем случае эпюра М∑ криволинейна и только если эпюры М_в и М_г пересекают нулевую линию на одной верти­кали, то на этом участке эпюра М прямолинейна (обычно на крайних участках вала). Если непосредственно по эпюрам Т_к и М∑ нельзя достоверно установить опасное сечение, при­ходится проверять прочность вала в нескольких сечениях.

Проверка прочности производится по расчетному моменту, величина которого зависит от используемой теории прочнос­ти:

• по третьей теории прочности

и условие прочности — допускаемое напряжение при растяжении;

• по четвертой теории прочности

• по теории прочности Мора

где и

Здесь к — коэффициент, учитывающий разную способ­ность хрупких материалов сопротивляться растяжению и сжа­тию;

[σ] сж — допускаемое напряжение при сжатии.

Во всех формулах Wx— момент сопротивления вала на изгиб. Для круглого сплошного сечения .

Если производится подбор сечения, то на основании вы­шеприведенных формул

- по третьей теории прочности;

- по четвертой теории прочности;

- по тоерии прочности Мора.

Пример 10

Шкив с диаметром D₁ = 1 м и с углом наклона ремня к го­ризонту α₁= 30° делает п=700 об/мин и передает мощность р=7,36 квт. Два других шкива имеют одинаковый диаметр D₂=0,7 м и одинаковые углы α₂=60^о наклона ветвей ремня к горизонту и каждый из них передает мощность (рис. 36), а=0,5 м; b= 1 м; с=0,5 м.

Решение. 1. Определяем вращающие моменты на шкивах 1 и 2

Так как дополнительных условий нет, считаем, что враща­ющие моменты на ведомых шкивах одинаковы и равны

2. Изображаем расчетную схему для определения крутя­щих моментов (рис. 36, а) и строим эпюру крутящих момен­тов (рис. 36, б).

3. Определяем окружные усилия из условий

Так как согласно заданным условиям , получаем

2. Определяем вертикальные и горизонтальные составля­ющие внешней нагрузки, действующей со стороны шкивов на вал. Знаки составляющих берем с учетом принятой схемы и системы координатных осей (рис. 36)

2. Изображаем расчетную схему для определения изгиба­ющих моментов в вертикальной плоскости (рис, 36, в).

3. Определяем опорные реакции от вертикальных составляющих нагрузки. Следует иметь в виду, что знаки сил учтены в расчетной схеме.

Проверяем правильность нахождения опорных реакций используя третье уравнение статики

400—300—740+640= 0.

Реакции опор найдены правильно.

7.Определяем изгибающие моменты в вертикальной плос­кости И строим эпюру М_верт (М_х).

Так как согласно расчетной схеме внешние нагрузки но­сят сосредоточенный характер, то достаточно определить зна­чения моментов в опорах и в местах расположения шкивов, соединив эти значения прямыми линиями и получим эпюру М_х.

В опоре А:

М_верт = ∑ М_лев

где М_лев - момент внешних сил, расположенных слева от се­чения;

М_верт = =300• 0,5=—150 Нм.

Под шкивом 2, расположенным между опорами,

М_верт = ∑ М_лев

М_верт = = -300*1,5+400*1=-50 Нм;

В опоре В:

М_верт = -∑ М_прав

т. е. изгибающий момент равен сумме внешних моментов справа от сечения, взятой со знаком минус,

М_верт = =-370• 0,5=—185 Нм

Эпюра М_верт изображена на рис. 36, г.

8.Изображаем расчетную схему для определения изгиба­ющих моментов в горизонтальной плоскости. Условно пере­водим внешние горизонтальные нагрузки в вертикальную плоскость с учетом их знака (см. рис. 36, д).

9.Определяем опорные реакции от горизонтальных состав­ляющих нагрузки

Проверяем правильность нахождения реакций ∑Х=0

520—693—215+603—215=0.

Реакции опор найдены правильно. Знак минус в ука­зывает, что направление реакции обратно предварительно выбранному.

10. Определяем изгибающие моменты в горизонтальной плоскости и строим эпюру М_гор (М_у).

В опоре А:

М_гор= =520*0,5=260 Нм.

Под шкивом, расположенным между опорами,

М_гор= = 520 *1,5—693 *1=87 Нм.

В опоре В:

М_гор=- =-215 *0,5= - 107,5 Н м.

Эпюра М_гор изображена на рис. 36, е.

11.Определяем суммарные изгибающие моменты и стро­им эпюру

В опоре А:

Под шкивом, расположенным между опорами,

В опоре В:

Эпюра приведена на рис. 36, ж.

Рассмотрение эпюр Т_к и достоверно указывает, что наиболее опасным сечением является сечение в опоре А.

12. Определяем расчетный момент в опоре А по III теории прочности

12. Определяем необходимый диаметр вала, учитывая, что

МПа и

Все величины необходимо подставлять в одинаковой размер­ности

Принимаем d=40 мм.

Тема. ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ

Указания к задаче 7

Центрально сжатый достаточно длинный брус может при определенной величине силы утратить прямолинейную форму равновесия, т. е. изогнуться. Такой случай потери устойчи­вости прямолинейной формы равновесия называют продоль­ным изгибом.

Предельное значение силы, при которой прямолинейная форма равновесия бруса становится неустойчивой, называет­ся критической силой.

Достижение нагрузками критических значений весьма опа­сно, так как потеря устойчивости обычно происходит вне­запно и при низких значениях напряжений, когда прочность конструкции при нормальной форме равновесия не вызыва­ет сомнений. При потере устойчивости резко возрастают де­формации, появляется изгибающий момент, который вызы­вает дополнительные напряжения, и конструкция может вне­запно разрушиться.

Если продольный изгиб наступает при напряжениях мень­ших предела пропорциональности, то для определения кри­тической силы можно использовать формулу Эйлера

где — приведенная длина бруса;

l— длина бруса;

— коэффициент приведения длины, зависящей от условий закрепления бруса;

— наименьший момент инерции поперечного се­чения бруса; Е— модуль упругости первого рода.

Критическое напряжение равно

где — площадь поперечного сечения без учета местных ослаблений (площадь брутто);

— гибкость бруса.

Условие устойчивости заключается в требовании, чтобы сжимающая брус сила в раз меньше

Коэффициент запаса на устойчивость п_у всегда принима­ется несколько большим, чем коэффициент запаса на прос­тое сжатие и лежит в пределах 1,8 ... 3,2.

Условие устойчивости можно записать также в виде

или

Имеются нормативные таблицы коэффициентов , уста­навливающих связь между допускаемыми напряжениями на простое сжатие и устойчивостью в зависимости от гиб­кости бруса

Так как

то окончательно условие устойчивости можно записать в ви­де

или

При проектировочном расчете (подбор сечения) прихо­дится пользоваться методом последовательных приближе­ний, задаваясь несколькими значениями коэффициента .

Пример 11

Стальной стержень длиной l=2 м, защемленный на обо­их концах, сжимается силой F=200 кН (рис. 37, а). Найти размеры прямоугольного сечения при соотношении сторон b:h=3:2, если допускаемое напряжение на простое сжа­тие =160 МПа. Расчет производится последователь­ным приближением, предварительно задаваясь величиной коэффициента уменьшения .

Рис. 37.

Так как в условии устойчивости

нам неизвестны ни площадь сечения , ни , то одной из этих величин необходимо задаться.

Задаемся коэффициентом уменьшения 1=0,5. Тогда до­пускаемое напряжение на устойчивость

= 0,5*160=80 Н/мм².

Определяем площадь поперечного сечения:

Для отношения b:h=3:2 площадь будет:

откуда

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 1

По найденному коэффициенту ₂=0,726 определяем допус­каемое напряжение на устойчивость для вычисленно­го вначале поперечного сечения и сравниваем его с рабочим напряжением в этом сечении

=0,726*160=116,2 Н/мм².

Рабочее напряжение

= 80 Н/мм².

Недонапряжение

Следовательно, найденное сечение велико. Высокий процент недонапряжения указывает, что надо искать другое, более выгодное сечение.

Находим из двух полученных напряжений среднее ариф­метическое напряжение и определяем площадь попе­речного сечения стержня

=98,1 Н/мм².

Тогда

По найденной площади А₂ находим

Гибкость стержня с найденным сечением

Для этой гибкости из таблицы находим коэффициент

₃≈0,66.

Определяем по этому коэффициенту ₃ допускаемое напря­жение на устойчивость для нового выбранного сечения и сравниваем его с рабочим (действующим) напряжением

==0,66*160= 105,6 Н/мм².

Рабочее напряжение

=98 Н/мм².

Недонапряжение

Величина недонапряжения допускается не более 5%, поэто­му сечение по-прежнему велико, не экономично. Находим вторично среднее арифметическое напряжение

=101,8 Н/мм².

По этому напряжению подбираем сечение

По полученной площади вычисляем

Радиус инерции

Вычисляем гибкость для этого случая

Для этой гибкости находим по таблице коэффициент ₄:

_4≈0,635.

Определяем допускаемое напряжение на устойчивость

=0,635.160= 101,6 Н/мм².

Рабочее напряжение

= 101,5 Н/мм²

Недонапряжение

получилось недонапряжение 0,1%, что допустимо, так как меньше 5%. Окончательно устанавливаем поперечное сече­ние, которое обеспечивает продольную устойчивость задан­ного стержня

b = 5,44 см, h=3,63 см; А= 19,7 см².