Пример 5

Определить положение главных центральных осей и вы­числить главные центральные моменты инерции составного сечения, состоящего из швеллера и уголка (рис. 15).

Решение. Заданное сечение состоит из двух прокатных про­филей: неравнобокого уголка I и швеллера II. Геометричес­кие характеристики уголка и швеллера берем по ГОСТ 8510-72 и 8240-72. Для уголка 110X70X6,5 = 142 см⁴;

=45,6 см⁴; = 26,9 см⁴;

11,40 см²; tg =0,402; координаты центра тяжести ; Для швеллера № 24: =2900 см⁴; 208 см⁴; A₂ = 30,6 см²; Z₀=2,42 см.

1. Выбираем вспомогательные оси V, Z и определяем от­носительно их координаты центра тяжести составного сечения

2 . Вспомогательные центральные оси х_с и у_с, параллельные V—Z. Вычисляем осевые и центробежные моменты инерции относительно этих осей. Центральные вспомогательные

оси параллельны центральным осям уголка и швеллера, относительно которых моменты инерции известны

Для швеллера оси , являются главными, поэтому

Вычисляем центробежный момент инерции уголка относитель­но осей (рис. 15, б).Связь между моментами инерции относительно исходных осей и осей повернутых на произвольный угол α имеет вид

Учитывая, что α=arctg0,402 = , подставим числовые значения

Центробежный момент инерции

Определяем положение главных осей инерции сечения (угол их наклона) к исходной оси

=-0,204;

Определяем главные моменты инерции по формулам

Правильность расчетов можно проверить по выполнению соотношения

то есть расчет произведен точно.

Тема. Поперечный изгиб Указания к задаче 4

При построении эпюр внутренних силовых факторов ( и М_х) необходимо руководствоваться следующими определи ниями и зависимостями.

Поперечная сила Q представляет собой совокупность двух равных и противоположно направленных внутренних поперечных усилий, которые приложены к двум различным сторонам одного и того же сечения.

Поперечная сила Q, приложенная к правой стороне сечения (рис. 16, а), выражает действие левой части балки на правую и, следовательно, равна сумме проекций на ось у сил, действующих на левую часть балки; усилие приложенное к левой стороне, равно сумме проекций на ось у сил, действующих на правую часть балки

Изгибающий момент М, приложенный к правой (левой) стороне сечения (рис. 16,б), численно равен алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных слева (справа) от сечения, относительно его центра тяжести

Значит, если мы рассматриваем правую часть балки, то получаем для М и Q те же величины, что и при рассмотрении левой части, но направления их будут противоположны.

Чтобы получить для изгибающего момента и поперечной силы одни и те же значения не только по величине, но и по знаку, независимо от выбора правой или левой части балки, им условимся считать положительными: М — по часовой стрелке и Q — вверх, если при вычислениях рассматривается линии часть балки, и обратно, М — против часовой стрелки, Q - вниз, если рассматривается правая часть. В противном случае изгибающий момент и поперечная сила - отрицатель­ны.

Правило законов для М можно связать с характером де­формации балки при действии внешних нагрузок. Если изгибающий момент положителен, то балка в этом случае гнется выпуклостью вниз, т. е. кривизна изогнутой оси балки поло­жительна; если же он отрицателен, то балка гнется выпук­лостью вверх (кривизна изогнутой оси балки отрицательна). Данное правило иллюстрируется схемами

Между изгибающим моментом и поперечной силой существует дифференциальная зависимость , откуда следует:

а) на участках, где М возрастает (алгебраически), (Q имеет положительное значение; там, где М убывает, Q имеет отрицательный знак (ось х направлена слева направо);

б) там, где М имеет экстремальное значение, Q=0.

Приведем общие указания по построению эпюр и .

Для эпюры :

1. На участках, где действуют сосредоточенные силы, эпюра очерчена прямой, параллельной оси эпюры;

2. В местах приложения сосредоточенных сил эпюра имеет скачок по величине и направлению равной этой силе;

3. На участке, где действует равномерно распределенная нагрузка, эпюра очерчена наклонной прямой по уравненш qх.

Для эпюры

1. На участках, где действуют cосредоточенные силы, эпюры ограничены наклонной прямой по уравнению F_х

2. На участках, где действуют распределенные нагрузки, эпюра очерчена кривой (пораболой), выпуклость ее направ­лена на направление стрелок нагрузки q.

3. От сосредоточенного момента эпюра очерчивается прямой линией, параллельной оси эпюры;

4. В местах приложения сосредоточенных сил эпюра имеет излом;

5. В местах приложения сосредоточенных моментов эпюра имеет скачок, величина которого равна этому моменту;

6. В сечениях, где эпюра поперечных сил пересекает ось эпюры, на эпюре изгибающих моментов будет mах или min.

Зависимость это объясняет следующим образом:

т. е. касательная к кривой эпюры М_u параллельна оси x. Чтобы определить значение абсциссы х, где эпюра М_u имеет перегиб, или эпюра Q пересекает ось, надо составить для этого участка балки уравнения поперечных сил и решить его относительно х; или приравнять к нулю производную от изгибающего момента на этом участке балки и решить полученное уравнение относительно абсциссы х. Размеры поперечно­го сечения балки определяют из условий прочности

откуда

По величине момента сопротивления определяют размеры поперечного сечения балки. Для круглого сечения , откуда

для прямоугольного сечения с размерами b и ,

зная отношение b:h, определяют их размеры.

Для балок из прокатных профилей (стандартных) опре­деляют по найденному значению номер балки из таблиц сортамента. При прямом поперечном изгибе бруса его ось искривляясь, остается в силовой плоскости. Изогнутая ось, представляющая собой геометрическое место центров тяжес­ти поперечных сечений деформируемого бруса, называется упругой линией балки. Линейное перемещение центра тяжес­ти поперечного сечения в направлении перпендикулярном оси недеформированной балки, называется прогибом ( у) сече­нии, а угол, на который повернулось сечение относительно своего первоначального положения, называют углом поворо­та сечения ( ). Необходимость уметь определять эти переме­щения обусловлена двумя факторами: иметь возможность полностью судить о пригодности балки к эксплуатации и уметь рассчитывать статически неопределимые балки, так как недостающие уравнения составляются из условий их де­формации.

Для определения деформаций балок существует несколь­ко методов. В настоящем пособии мы остановимся на методе начальных параметров. Определение перемещений методом начальных параметров сводится к решению обобщенного ура­внения упругой линии балки. В общем случае эти уравнения имеют вид:

Уравнение углов поворота

Уравнение прогибов

где z — расстояние от начала координат, до рассматриваемо­го сечения;

— расстояние от начала координат до точек при­ложения силовых факторов;

М, F, q — силовые факторы.

Начало координат при этом всегда надо располагать на одном из концов балки. Знак ∑ в уравнении говорит о возможности повторения данного вида нагрузки. Каждое слагаемое должно быть записано в уравнении со своим знаком, который определяется так же , как и для изгибающего момента в сечении. Распределенная нагрузка должна доходить до конца балки. На рис. 17 приведены эпюры М и Q для некоторых видов простейшей балки.

Пример 6

Построить эпюры поперечных сил (Q) и изгибающих моментов (М) для балки, расчетная схема которой изображена на рис. 18.

Решение. 1. Определяем опорные реакции, используя ура­внения равновесия статики

∑

∑

10+60=10*4+30

2. Разбиваем балку на участки, в пределах которых урав­нения, дающие законы изменения Q и М, остаются постоян­ными. Границами этих участков являются точки приложения сил, пар сил, места изменения интенсивности распределенной нагрузки. На каждом из участков берется какое-либо сечение на расстоянии z от начала координат (рис. 18, а) и состав­ляются для него выражения Q и М. Давая z несколько зна­мений на каждом участке, получаем соответствующие значе­нии Q и М_, по которым и строим эпюры.

3. Строим эпюру поперечных сил Q_У. Данная балка имеет 4 участка. Мысленно проводим на первом участке сечение 1-1. Q_У в этом сечении равна сумме проекций на вертикаль­ную ось всех сил, расположенных слева от сечения; при этом м,

при

при

На втором участке в сечении 2-2 (Q не зависит от и в пределах участ­ка постоянна).

На третьем и четвертом участках возьмем сумму проекций сил не слева, а справа от сечений, не забывая о том, что пра­вило знаков следует изменить на обратное, тогда

По полученным данным строим эпюру Q_У (рис. 18,б), Откладывая против граничных сечений перпендикулярно базовой линии найденные значений ординат.

4. Строим эпюру изгибающих моментов М. Обращаясь к рис. 18, а, запишем выражение изгибающего момента в сечении 1-1 как сумму моментов относительно этого сечения сил. приложенных слева от сечения

м

Таким образом, изгибающий момент на этом участке из­меняется по закону квадратной параболы; в граничных сечениях будем иметь:

при

при

Кроме того, пользуясь дифференциальной зависимостью

и следствием из нее (в сечении, где Q=0 и M=Mэкстр), найдем Мmax.

Предварительно определим сечение, в котором Q=0 (M=Mэкстр), воспользовавшись эпюрой на первом участке (рис. 18,б)

отсюда .

Подставляя найденное значение в уравнение изгибающего момента, определим Мmax.

Откладываем найденные ординаты, и полученные точки соединяем кривой (парабола).

На втором участке в сечении ,2-2

при кНм

при м кНм

Откладываем соответствующие ординаты и, соединяя их концы прямой, строим эпюру М на втором участке.

На третьем участке в сечении 3-3 (берем момент силы F справа от сечения)

- уравнение прямой ,

при z₃=0, Мз=0;

при z₃=2м, М₃=—60 кНм.

На четвертом участке в сечении 4-4 имеем:

М₄=—30*z₄+60(z₄—2),

при ,

при ,

По полученным данным строим эпюру М (рис. 18,в).

Пример 7

Построить эпюры Q и М для консольной балки (рис. 19,а), подобрать номер двутавра из условия прочности,

если и

Решение. 1. Строим эпюру Q. Построение начинаем от сво­бодного конца В, не определяя опорных реакций (балка кон­сольная).

На первом участке в сечении 1-1 ,

т.к не зависит от z)

На втором участке в сечении 2-2 ,

—уравнение наклонной прямой;

при ,

при ,

По полученным данным строим эпюру (рис. 19,б).

2. Строим эпюру М. На правом участке в сечении 1-1

—уравнение наклонной прямой;

при ,

при ,

На втором участке в сечении 2-2

или

- уравнение параболы;

при , ;

при ,

Откладываем найденные ординаты на границах второго участка. Для построения кривой определять третью ординату нет необходимости — нужно руководствоваться в этом случае геометрическим толкованием первой производной

α — угол наклона касательной к кривой (рис. 20).

Отсюда следует, что с увеличением крутизна кривой будет также возрастать ( ).

Таким образом, эпюра фактически предопределяет ха­рактер очертания эпюры М_х и упрощает построение послед­ней.

По найденным значениям строим эпюру М (рис. 19, в).

Из эпюры видно, что опасным сечением будет сечение А, в котором расчетный момент .

После подставки численных значений будем иметь:

откуда

По таблице сортамента принимаем двутавр № 20а, у ко­торого W_х=203 см³ т. е. балка будет работать с некоторым запасом прочности. Если потребуется ответить на вопрос, ка­кой будет прогиб конца консоли балки, следует лучше при­менить метод начальных параметров. Используя этот метод, можно при любых видах нагрузки определять прогибы (или углы поворота сечений) с помощью одного уравнения, при­годного для всех участков балки.

Это уравнение, в силу указанных ранее свойств, называ­ется универсальным и в случае балки постоянной жесткости (при принятых направлениях нагрузок (рис. 21) имеет следу­ющий вид:

где у₀ и θо — начальные параметры — прогиб и угол поворо­та сечения в начале координат;

- начала координат до соответству­ющей нагрузки;

— расстояние от начала координат до конца рас­пределенной нагрузки (член с учитывается, когда распределенная нагрузка не доходит до точки, в которой определяется прогиб у);

z— расстояние от начала координат до точки, в ко­торой определяется прогиб балки (у).

Пример 8

Определить прогиб конца консольной балки, рассмотрен­ной в предыдущем примере, и проверить ее жесткость, если

допускаемая величина прогиба [у]составляет (рис. 22).

Решение. Так как левый конец балки заделан жестко, то начальные , параметры: прогиб и угол поворота сечения А, равны нулю.

Запишем применительно к данной задаче универсальное уравнение

или откуда -( отрицательный знак указывает на то, что перемещение направлено в сторону, противоположную направлению оси y, т.е. вниз).

Подставляя численные значения, найдем величину прогиба

Величина допускаемого прогиба

Так как 1,1 см>0,75 см, то из условия жесткости следует, что размер сечения надо увеличить. Подбираем номер двутавра на условия жесткости

Окончательно принимаем двутавр № 24