Раздел 3. Методические указания для выполнения контрольной работы

По учебному плану для специальностей 31.13 (Механизация сельского хозяйства) каждый студент-заочник выполняет две контрольные работы. Задачи входящие в состав контрольных работ, указаны в табл.2

Таблица 2
№ контрольной работы	№ задач
1	1,2,3,4
2	5,6,7,8

Указания к задаче 1

Стержневая система, рассматриваемая в данной задаче, относится к статически неопределимым системам, для которых помощью только уравнений статики нельзя определить уси­лим в стержнях, так как число последних превышает число уравнений равновесия статики. В этом случае приходится при­бегать к составлению дополнительных уравнений.

Дополнительные уравнения мы сможем найти, изучая те деформации, которые испытывает конструкция при ее нагружении. Оказывается, что всегда можно составить столько до­полнительных уравнений, сколько нам нужно, чтобы полное число уравнений вместе с условиями статики равнялось чис­лу неизвестных.

Эти дополнительные уравнения составляются на основа­нии одного общего принципа; они должны выразить условия совместимости деформаций системы.

Всякая конструкция, чтобы не потерять своей работоспо­собности, деформируется так, что не происходит разрывов стержней, разъединения их друг от друга или не предусмот­ренных схемой сооружения перемещений одной части конст­рукции относительно другой. В этом и заключается совмест­ность деформаций элементов системы.

Метод расчета статически неопределимых стержневых сис­тем таков. В начале записываются уравнения статики и уста­навливается степень статической неопределимости системы; затем составляются недостающие уравнения совместимости де­формаций (перемещений), т. е. геометрические зависимости между продольными деформациями отдельных стержней сис­темы. Эти деформации выражаются чёрез усилия по закону Гука и подставляются в уравнения перемещений, после чего последние решаются совместно с уравнениями статики. В ре­зультате находят продольные усилия, а затем и напряжения но всех стержнях системы; По наибольшему (опасному) на­пряжению и подбирается допускаемая нагрузка.

Для определения предельной грузоподъемности систем следует иметь в виду, что в одном из стержней напряжение больше, чем в других. При увеличении нагрузки напряжение в первом стержне достигнет предела текучести ранее, чем во втором. Когда это произойдет, напряжение в первом стержне не будет некоторое время расти даже при увеличении нагрузки, система станет как бы статически определимой нагруженной силой F^T_пред (пока еще неизвестной) ш усилие в первом стержне будет равно:

N1=σт*А1.

При дальнейшем увеличении нагрузки напряжение и во втором стержне достигнет предела текучести и усилие в нем будет равно:

N2=σт*А2.

Написав уравнение статики и подставив в него значений усилий (N1 и N2), найдем из этого уравнения предельную грузоподъемность.

В результате решения задачи может оказаться, что усилия в отдельных стержнях получатся со знаком минус. Это значит, что для этих стержней предположение о направления усилий было неверно.

Пример 1

Весьма жесткая балка, деформацией которой можно пренебречь, опирается на шарнирно-неподвижную опору А и крепится к двум стержням с помощью шарниров В и С (рис. 7а)|

Требуется найти:

1. усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу F

2. допускаемую нагрузку [F], приняв допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа;

3. предельную грузоподъемность системы F^т_Пред и допускаемую нагрузку {F], если предел текучести σт=240 МПа запас прочности n_т= 1,5. Сравнить величины [F] и [F^T]

Решение. 1. Заданная система является один раз статически неопределимой (4 неизвестных усилия и лишь три уравнения статики).

Для определения усилий в стержнях (не определяя опорных реакций RA и HA) достаточно составить одно уравнение статики (Ем_а=0) и дополнительное уравнение перемещений. Уравнение статики

F • 2а—N2 • 4а—N1За • sin60°=0,

или 1,3N1+2N2=F……

Усилия N1 и N2 направлены вдоль осей стержней 1 и 2, Так как в точках В, С и D имеются шарниры.

Для получения дополнительного уравнения обратимся к изучению деформации стержней данной конструкции. Под действием силы F оба стержня удлиняются. Точки В и С зай­мут соответственно положения В₁ и С (рис. 7б). Изменения длим обоих стержней будут совместны, т. е. после деформа­ции стержни остаются соединенными в точке D.

Вследствие малости деформации, расстояния ВВ и СС можно принять за прямые отрезки.

Уравнение совместности деформаций составим из подобия треугольников АВВ и АСС

Вывод

Нагрузка [F] , полученная из расчета по допускаемым на­пряжениям (755кН), меньше; чем найденная из расчета па допускаемым нагрузкам (850 кН). Это объясняется тем, что по втором случае использовались пластические свойства сис­темы, которые привели к более экономическому решению (ис­пользованы работоспособности обоих стержней).

Пример 2

Для заданной стержневой системы (рис. 8, а) требуется:

Определить усилйя в стержнях, считая брус АBС весь­ма жестким, деформацией которого можно пренебречь.

Из условия прочности определить площади поперечных сочений стержней, если σТ=200 МПа, nт = 2.

Решение. Рассмотрим равновесие бруса под действием за­данных нагрузок и неизвестных усилий N1,N2,N3 (рис. 8, б). Указанные на рис. 8, б усилия образуют плоскую систему параллельных сил, для которой статика дает два уравнения равновесия. Следовательно задача статически неопределима

Проектируя все силы на вертикальную ось, получаем

N1-q*2a+N2-F+N3=0,

откуда

N1+N2+N3=4qа....

Равенство нулю суммы моментов относительно точки А дает

-q•2а • а+N 2 • 2а—F • За+N3 • 4а=0,

или

N2+2Nз = 4qа ....

П осле приложения нагрузки бррс ЛВС, оставаясь прямо­линейным (по условию задачи брус абсолютно жесткий), опу­стится и, очевидно, наклонится (рис. 8, b)

Таким образом, лишь в стержне 1 прочность материала используется полностью, стержни 2 и 3 значительно недогру­жены. Однако уменьшать площади их сечений нельзя, так как в статически неопределимых системах распределение усилий зависит от соотношения жесткостей стержней и изменение, площадей приведет к необходимости выполнения всего, рас­чета заново. Это надо всегда иметь ввиду при расчете стати­чески неопределимых стержневых систем.