2.13. Расчет статически неопределимых систем

Статически неопределимыми называются балки, у который не все опорные реакции определяются по уравнениям статики. Статически неопределимые балки имеют так называемы «лишние» связи. «Лишние» связи не требуются для статического равновесия системы, а вводятся для облегчения или улучшения работы конструкции. Благодаря наличию «лишних» связей статически неопределимые балки приобретают ряд свойств, отличающих их работу от статически определимых. В рассматриваемой теме целесообразно выделить еле дующие вопросы:

а) общие понятия о статически неопределимых плоских! системах;

б) сущность метода сил и составление канонических урав­нений;

в) построение для балок эпюр п М.

Изучение этой темы рекомендуем начать с понятия степе­ни статической неопределимости, способов ее определения и разбора основных свойств статически неопределимых систем Степенью статической неопределимости называют количество связей, удаление которых обращает систему в статически оп­ределимую и геометрически неизменяемую и неподвижную Одним из основных методов расчета статически неопредели­мых балок является метод сил. Идея метода состоит в том, что расчет статически неопределимой балки (заданной системы) заменяется расчетом основной (статически определи­мой) системы, полученной из заданной путем отбрасывания «лишних» связей. Для одной заданной системы можно вы] брать ряд основных. Принятая основная система должна быть наиболее рациональной. Выбор основной системы является важным этапом расчета, поскольку удачная основная систе­ма может значительно упростить расчет.

Основная и заданная системы должны работать эквива­лентно (одинаково). С этой целью к основной системе прикладывается заданная нагрузка, а по направлению отброшен­ных связей — усилия (искомые или «лишние» неизвестные). Эквивалентность работы есть требование равенства любых статических и кинематических факторов в заданной и основ­ной системах. Необходимо обратить особое внимание на условия предложенные в основу составления уравнений для опре­деления «лишних» неизвестных. Следует внимательно рас­смотреть методику составления канонических уравнений метода сил, уяснить, почему они носят название канонических. Надо понять физический смысл каждого уравнения и его сла­гаемых, запомнить обозначения коэффициентов при неизве­стных, свободных членов и индексов при них. При расчете многоопорных статически неопределимых балок, полезно на­учиться составлять матрицу из коэффициентов и разобраться в элементах, ее составляющих. По главной диагонали мат­рицы располагаются главные перемещения (коэффициенты). Они с одинаковыми индексами и всегда положительны. Остальные элементы матрицы — побочные перемещения (коэф­фициенты). Они с разными индексами и могут быть положи­тельными, отрицательными и равными нулю. Побочные пере­мещения, симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны между собой (по теореме Максвелла). Ко­эффициенты и свободные члены при расчете статически не­определимых балок обычно определяют по способу Вереща­гина. Решением системы канонических уравнений определя­ются «лишние» неизвестные, что приводит к принципиально­му решению задачи, так как в основной (статически опреде­лимой) системе все внешние силы становятся известными. Не­обходимо запомнить последовательность этапов в расчете по методу сил:

1. Определяется степень статической неопределимости.

2. Выбирается статически определимая основная систе­ма (путем отбрасывания из заданной системы «лишних» связей.

3. Вместо отброшенных «лишних» связей к основной сис­теме прикладываются неизвестные Х1 Х2 и т. д. (грузовое воздействие заданной системы остается на основной системе).

4. Составляются канонические уравнения метода сил, сле­дуя правилу, что полные перемещения в основной системе, возникающие по направлению неизвестных усилий под влия­нием этих усилий, равны нулю.

5. Основная система загружается единичными усилиями Х1 и Х₂=1 и т. д. От каждого из них отдельно строятся

единичные эпюры изгибающих моментов М1 М₂ и т. д. для всей системы, кроме того, строится грузовая эпюра в основ­ной системе (от заданной нагрузки М_F).

6. Перемножают единичные эпюры друг с другом и с грузовой эпюрой и этим путем вычисляют все коэффициенты  и грузовые члены ∆ системы уравнений.

7. Решают систему канонических уравнений и определяют значения «лишних» неизвестных Х1, Х2 и т. д.

8. После определения «лишних» неизвестных задача ста- новится статически определимой и все другие реакции в опорах определяются с помощью уравнений статики.

9. Строятся эпюры Q и М в заданной системе как в прон стой, статически определимой, балке. Общий ход расчета ста­тически неопределимых плоских рам тот же, что и для балок, однако к выбору основной системы надо подходить более внимательно.

Вопросы для самопроверки

1. Какие системы называются статически неопределимыми?

2. Как определить степень статической неопределимости системы?

3. Какие связи могут быть приняты за «лишние» неизвестные?

4. Что называется заданной и основной системами и какие требования предъявляются к последней?

5. В чем заключается сущность метода сил (перечислить этапы расчета)?

6. Что называется системой канонических уравнений метода сил и как они (уравнения) записываются?

7. Какой физический смысл каждого канонического уравнения метода сил?

8. Чем физически являются коэффициенты и свободные члены канонических уравнений и как они определяются?