2.9 Решение задач о кратчайших расстояниях

Изначально дана схема, состоящая из точек и непересекающихся связей между ними (см. Рисунок 6). У каждой точки есть обозначение, каждая связь характеризуется расстоянием.

Рисунок 6 – Схема точек и связей

Фиксируется точка P_i, до которой нужно рассчитать кратчайшее расстояние ото всех остальных. Возле этой точки записывается нуль (расстояние до самой себя), это называется характеристикой точки.

Определяются характеристики соседних точек - расстояния от соседних точек до фиксированной: C_ij=0+L_ij. На связях обозначаются стрелки по направлению к фиксированной точке.

Фиксированная точка отмечается птичкой (галкой), это свидетельствует о том, что операции над этой точкой закончены.

Выбирается любая следующая точка, для которой определена характеристика, - P_j′. Определяются характеристики её соседних точек - суммы расстояний от соседних до выбранной точки и расстояний от выбранной до фиксированной точки: C_ij=C_ij'+L_ij'.

Точка P_j′ отмечается птичкой, выбирается следующая точка.

При определении характеристики соседней точки может получиться так, что для неё характеристика уже рассчитана. В таком случае характеристики сравниваются, выбирается наименьшая из них. При необходимости стрелки на связях изменяются, а также пересчитываются характеристики зависимых соседних точек.

Процесс продолжается до тех пор, пока не будут отмечены все точки (см. Рисунок 7). На этом определение кратчайших расстояний до точки P_i завершено.

Рисунок 7 – Кратчайшие расстояния до точки 1

Составляется таблица, в первой колонке которой отмечаются крайние точки пути, во второй – кратчайшее расстояние, а в третьей – маршрут (см. Таблица 45).

Таблица 45 – Кратчайшие расстояния до точки 1

По такому же алгоритму определяются кратчайшие расстояния до всех остальных точек (см. Рисунок 8, Таблица 56, Рисунок 9, Таблица 57).

Рисунок 8 – Кратчайшие расстояния до точки 6

Таблица 56 – Кратчайшие расстояния до точки 6

Рисунок 9 – Кратчайшие расстояния до точки 9

Таблица 57 – Кратчайшие расстояния до точки 9

2.10 Сетевое планирование и управление

Изначально дан сетевой график, состоящий из событий (точек) и работ (связей) (см. Рисунок 10).

Рисунок 10 – Сетевой график событий и работ

У каждой работы есть исходное и завершающее событие. В сетевом графике может быть только одно исходное событие, не имеющее предшествующих работ, и только одно завершающее событие. Две работы не могут быть параллельными, т.е. связывать два одинаковых события. Каждая следующая работа может начинаться только после выполнения всех предшествующих работ.

События нумеруются (см. Таблица 58). Для проверки нумерации есть метод вычеркивания дуг (см. Рисунок 11). Исходному событию присваивается ранг 0. Затем вычеркиваются все исходящие из этого события работы. В результате одно или несколько событий окажутся без входных работ, таким событиям присваивается следующий ранг. Операция повторяется до завершающего события. После установки нумерации по рангам события произвольно нумеруются внутри ранга.

Таблица 58 – Нумерация событий

Рисунок 11 – Сетевой график с пронумерованными событиями

Каждая работа имеет код, состоящий из номеров исходного и завершающего событий, причем первый номер всегда должен быть меньше второго. Описание работ заносится в отдельную таблицу (см. Таблица 59).

Таблица 59 – Перечень событий и работ

Время выполнения работы определяется по двухоценочной методике. Для расчёта Используется время, необходимое для выполнения работы при благоприятных условиях (t_min), и время, необходимое для выполнения работы при неблагоприятных условиях (t_max). По этим оценкам определяется математическое ожидание времени (t_ожид) и мера неопределённости (σ):

t_ожид=(3t_min+2t_max)/5

σ²=0,04(t_max-t_min)²

Например, время выполнения работы 3,6:

t_min=5

t_max=10

t_ожид=(3*5+2*10)/5=7

σ²=0,04(10-5)=1

σ=1

2.11 Расчёт параметров сетевого графика матричным, табличным и графическим способами

Для расчёта параметров используется сетевой график из предыдущей работы.

Графический метод рассчитан для небольших сетей с небольшим количеством событий и работ. Каждое событие делится на четыре сектора (см. Рисунок 12):

1. Номер текущего события.

2. Номер предшествующего события для данной работы.

3. Наиболее ранний из возможных сроков, необходимых для выполнения всех предшествующих работ (T_р). Для исходного события этот срок равен нулю. Для всех остальных он соответствует сумме аналогичного показателя предшествующего события и времени выполнения предшествующей работы (при этом если к данному событию подходит несколько работ, то выбирается наибольшее значение): T_р=T_рi+t_ij

4. Наиболее поздний из допустимых сроков, превышение которого вызывает задержку срока завершения работ (T_по). Для завершающего события равняется T_р. Для всех остальных он соответствует разности аналогичного показателя последующего события и времени выполнения последующей работы (при этом если от данной события отходит несколько работ, то выбирается наименьшее значение): T_поi= T_поj–t_ij

Для каждого события рассчитывается резерв времени: R=T_по-T_р

Путь, на котором резерв времени равен нулю, называется критическим, он является наибольшим по продолжительности. Резерв времени работы – время, на которое можно увеличить продолжительность работы без изменений критического пути. Длина критического пути (L_кр) соответствует значению T_по последнего события.

Рисунок 12 – Графический метод

L_кр=27

Матричный метод начинается с занесения продолжительностей работ в матрицу (см. Таблица 60). После этого добавляются дополнительный столбец λ и дополнительная строка μ.

Для исходного события значение λ равно нулю. Для всех остальных строк из столбца, номер которого равен номеру текущей строки, берётся продолжительность работы и суммируется со значением λ соответствующей строки (при этом если значений несколько, то берётся наибольшая сумма).

Для последнего события значение μ равно последнему значению λ. Для всех остальных столбцов из строки, номер которой равен номеру текущего столбца, берётся продолжительность работы и вычитается из значения μ соответствующего столбца (при этом если значений несколько, то берётся наименьшая сумма).

В последнюю строку добавляются разности между μ и последним λ. Последнее λ – длина критического пути.

Таблица 60 – Матричный метод

L_кр=27

Табличный метод заключается в последовательном заполнении столбцов таблицы (см. Таблица 61).

Графа 2 - коды работ (заполняется в порядке выполнения из сетевого графика или из перечня работ).

Графа 1 – количество предшествующих работ.

Графа 3 – продолжительность работ.

Графы 4 и 5 заполняются вместе. Графа 4 – раннее начало работы, графа 5 – раннее окончание работы. Для исходного события графа 4 равняется нулю, а графа 5 равняется продолжительности работы (графа 3). Для всех остальных работ в графу 4 заносится раннее окончание предшествующей работы (графа 5), а в графу 5 – сумма раннего начала (графа 4) и продолжительности работы (графа 3). Если предшествующих работ несколько, то берётся наибольшее значение.

Графа 7 – позднее окончание. Для всех работ, ведущих к завершающему событию, в графу 7 заносится наибольшее раннее окончание (графа 5). Для остальных работ в графу 7 заносится разность графы 7 последующей работы и её продолжительности (графа 3). Если последующих работ несколько, то выбирается наименьшее значение.

Графа 6 – позднее начало (разность графы 7 и графы 3).

Графа 8 - полный резерв времени работы (разность графы 7 и графы 5 или разность графы 6 и графы 4).

Графа 10 - резерв времени события. Из графы 7 берётся значение работы, заканчивающейся текущим событием, из него вычитается раннее начало текущей работы (графа 4).

Графа 9 - свободный резерв времени работы (разность графы 10 и графы 8).

Длина критического пути – последнее значение графы 7.

Таблица 61 – Табличный метод

L_кр=27