2.7 Проверка опорного плана на оптимальность методом потенциалов

После построения опорного плана одним из шести методов, рассмотренных в предыдущем подразделе, ещё нельзя утверждать, что план оптимален.

Вводятся следующие обозначения:

C_ij – показатель оптимальности загруженной клетки (первое число в каждой ячейке; по условию задачи – расстояние от A_i до B_j)

U_i – потенциал строки

V_j – потенциал столбца

Показатель оптимальности представляет собой сумму потенциала строки и потенциала столбца: C_ij = U_i + V_j

Потенциал строки записывается рядом со строкой, потенциал столбца – под столбцом.

Значение первого потенциала выбирается произвольно. В данном случае это 0 (см. Таблица 23 – потенциал верхней строки). Далее рассчитываются потенциалы всех столбцов, ячейки которых заполнены в выбранной строке.

Таблица 23 – Первый произвольный потенциал и расчёт доступных потенциалов столбцов

Аналогично рассчитываются потенциалы строк, ячейки которых заполнены в столбцах с рассчитанными потенциалами (в данном случае можно рассчитать только одну строку). Далее рассчитываются следующие потенциалы столбцов, и в таком порядке определяются все недостающие значения. Если остаются незаполненные ячейки, то нужно снова выбрать значение потенциала произвольно (см. Таблица 24).

Таблица 24 – Рассчитанные потенциалы

Далее определяется характеристика незагруженных клеток, представляющая собой разность показателя оптимальности и суммы потенциалов:

E_ij = C_ij – (U_i + V_j)

Таким образом, E_ij для загруженных клеток равняется нулю.

Из рассчитанных значений составляется отдельная таблица (см. Таблица 25). При этом величина положительных характеристик не имеет значения и просто обозначается.

Таблица 25 – Характеристика незагруженных клеток

Если отрицательные характеристики отсутствуют, то план оптимален, задача решена. В противном случае нужно улучшить план, нужно перейти к следующей итерации.

Выбирается клетка с наименьшим значением E_ij. К этой клетке строится цепь перераспределения поставок (см. Таблица 26). Проводится отрезок до одной из поставок в этом же столбце, либо в этой же строке. Из следующей ячейки проводится следующий отрезок. Последний отрезок должен прийти к началу первого, в противном случае цепь перестраивается по-другому.

При этом если первый отрезок проведён по столбцу, то следующий проводится по строке, и наоборот. Таким образом, один отрезок принадлежит либо только одной строке, либо только одному столбцу, и при этом каждый последующий отрезок перпендикулярен предыдущему. В результате получается так, что все вершины полученной фигуры содержат поставки, кроме одной, хотя отрезки могут проходить как по загруженным, так и по незагруженным клеткам. В итоге количество вершин всегда чётное.

Если построить цепь не удаётся, то допускается ввести нулевую поставку - одна из незагруженных клеток признаётся загруженной, при этом значение поставки равняется нулю.

Таблица 26 – Цепь на первой итерации

Далее, начиная с незагруженной вершины, вершины поочерёдно помечаются знаками «+» (положительные) и «-» (отрицательные). Выбирается наименьшая из поставок отрицательных вершин. Это значение прибавляется к положительным вершинам и вычитается из отрицательных (см. Рисунок 2 - полученные значения выделены жирно).

Рисунок 2 – Цепь перераспределения поставок

Далее составляется новая таблица, содержащая новый план поставок. Количество загруженных клеток должно получиться меньше, чем сумма количества столбцов и количества строк в таблице. Потенциалы столбцов и строк и характеристики незагруженных клеток пересчитываются.

Если отрицательные характеристики отсутствуют, то план оптимален, задача решена. В противном случае нужно улучшить план, нужно перейти к следующей итерации (см. Таблица 27, Таблица 28, Рисунок 3, Таблица 29, Таблица 30, Рисунок 4, Таблица 31, Таблица 32, Рисунок 5, Таблица 33, Таблица 34).

Таблица 27 – Второй план поставок