2.5 Решение двойственной задачи

Каждой задаче линейного программирования соответствует двойственная ей задача (Таблица 13, Таблица 14, Таблица 15). За основу в данном случае берётся прошлая работа, в данном случае эта задача называется прямой. Поскольку ранее осуществлялся поиск максимального значения целевой функции, то в двойственной задаче рассчитывается минимальное значение. Коэффициенты целевой функции прямой становятся свободными членами двойственной, а свободные члены прямой – коэффициентами целевой функции двойственной. Знаки меняются на противоположные. Количество неизвестных прямой задачи равно количеству неравенств сопряженной и наоборот.

{	9Y1+3Y2+8Y3<=3 3Y1+2Y2+3Y3<=5 6Y1+4Y2+6Y3<=7 4Y1+3Y2+4Y3<=19

F_max=3Y₁+10Y₂+12Y₃

Матрица транспонируется.

Таблица 13 – Первая симплексная таблица

Таблица 14 – Вторая симплексная таблица

Таблица 15 – Последняя симплексная таблица

10*1=10

F_max=10 при Y₂=1.

Численно F_min прямой задачи и F_max обратной задачи равны.

2.6 Построение опорных планов шестью методами

Из нескольких пунктов нужно перевести груз в несколько других пунктов. Известно количество груза в пунктах отправления и количество груза, необходимого в пунктах назначения. Известны расстояния от каждого пункта отправления до каждого пункта назначения. Требуется установить, сколько груза и в какие пункты следует перевезти, чтобы весь груз был распределён при минимальном грузообороте. Вводятся следующие обозначения (см. Таблица 16):

A_i – пункт отправления

a_i – количество груза в пункте отправления (мощность)

B_j – пункт назначения

b_j – количество груза, необходимого в пункте назначения (спрос)

c_ij – расстояние от A_i до B_j

x_ij – количество груза, доставляемого из A_i в B_j

Таблица 16 – Структура распределительной таблицы

Каждый поставщик должен отправить весь свой груз. Каждый потребитель должен получить весь требуемый груз. Сумма поставок строки равна её мощности. Сумма мощностей столбца равна его спросу. Сумма мощностей равна суммарному спросу. Поставка не может быть отрицательной.

Транспортная задача (как и любая задача линейного программирования) решается в два этапа: базисное распределение и проверка на оптимальность. Далее рассмотрены шесть методов распределения поставок.

Метод северо-западного угла (см. Таблица 17): в левую верхнюю ячейку заносится поставка; если A_i>B_j, то далее рассматривается следующая в строке ячейка, в противном случае – следующая в столбце.

Таблица 17 – Метод северо-западного угла

F_min=1*52+6*110+…+3*44=2008

Метод минимального элемента в строке (см. Таблица 18): берётся наименьший C_ij в строке, туда заносится поставка; если A_ij распределена, то осуществляется переход к следующей строке, иначе ищется следующий наименьший элемент строки.

Таблица 18 – Метод минимального элемента в строке

F_min=1*52+1*45+…+3*44=1431

Метод минимального элемента в столбце (см. Таблица 19): берётся наименьший C_ij в столбце, туда заносится поставка; если B_ij удовлетворён, то осуществляется переход к следующему столбцу, иначе ищется следующий наименьший элемент столбца.

Таблица 19 – Метод минимального элемента в столбце

F_min=1*52+1*79+…+3*64=1578

Метод минимального элемента в матрице (см. Таблица 20): берётся наименьший C_ij в матрице, туда заносится поставка; в зависимости от распределения мощности или спроса из дальнейшего рассмотрения исключается строка или столбец.

Таблица 20 – Метод минимального элемента в матрице

F_min=1*52+9*39+…+3*13=1465

Метод двойного предпочтения (см. Таблица 21): берётся столбец, в нём ищется наименьший C_ij; определяется, является ли этот элемент минимальным в строке, и в таком случае заносится поставка и вычеркивается строка или столбец, в противном случае берётся следующий столбец.

Таблица 21 – Метод двойного предпочтения

F_min=1*52+9*39+…+3*13=1465

Метод Фогеля (см. Таблица 22): в каждой строке и в каждом столбце определяется разность между минимальными C_ij; полученные числа записываются рядом, среди них выбирается наибольшая, и в соответствующей строке или столбце в ячейку с минимальным элементом заносится поставка, после чего вычёркивается строка или столбец и пересчитываются оставшиеся разности.

Таблица 22 – Метод Фогеля

F_min=6*25+9*101+…+3*44=1858

После построения опорного плана выбирается план с наименьшим функционалом, и осуществляется его проверка на оптимальность.