2.3 Решение математических задач симплексным методом
Есть три вида станков – 1, 2 и 3. На этих станках последовательно обрабатываются детали четырёх видов - В1, В2, В3, В4. Известны ограничения времени работы станков (см. Таблица 2). Требуется найти оптимальный план работы станков: сколько деталей, и каких видов нужно выпустить, чтобы получить максимальную прибыль. Изначально план работы уже распределён, но такой план ещё не является оптимальным.
Таблица 2 – Исходный план работы
{ |
4Х1+5Х2+7Х3+5Х4<=54 2X1+8X2+3X3+4X4<=45 5X1+3X2+2X3+5X4<=36
|
Fmax=8X1+6X2+8X3+2X4
X1>=0, X2>=0, X3>=0, X4>=0
Задача приводится к симплексной модели. Неравенства приводятся к равенствам с помощью введения дополнительных неизвестных. Уравнения со всеми неизвестными переписываются. Такая система называется симплексной.
4Х1+5Х2+7Х3+5Х4+X5+0X6+0X7=54
2X1+8X2+3X3+4X4+0X5+X6+0X7=45
5X1+3X2+2X3+5X4+0X5+0X6+X7=36
Fmax=8X1+6X2+8X3+2X4+0X5+0X6+0X7
Составляется симплексная таблица (см. Таблица 3), в которую последовательно вносятся следующие данные:
Коэффициенты при неизвестных из целевой функции (первая строка).
Номера неизвестных (столбец X).
Коэффициенты при неизвестных в системе ограничений (столбец Cij).
Коэффициенты при неизвестных, входящих в текущий план (столбцы X1- X4). Коэффициенты при дополнительных неизвестных (столбцы X5- X7).
Коэффициенты целевой функции, входящие в текущий план (столбец P – Итоговый столбец).
Значение целевой функции, входящее в текущий план - сумма произведений первого и третьего столбца (последняя ячейка столбца P).
Целевая строка - сумма произведений значений первого столбца на значения столбца Xi за вычетом значения первой строки (последняя строка). В целевой строке выбирается минимальное значение. Этот столбец называется ключевым (выделенный столбец).
Сумма всех элементов от третьего столбца до последнего неизвестного (столбец Σ).
Дополнительный столбец - деление значения итогового столбца на значение ключевого столбца. (Столбец α). Выбирается минимальное значение (не отрицательное и не равное нулю). Эта строка называется ключевой. Элемент на пересечении ключевого столбца и ключевой строки – ключевой элемент.
Таблица 3 – Первая симплексная таблица
Задача считается решенной, когда в целевой строке не остаётся отрицательных значений. Если это не так, то план не оптимален, его нужно улучшить путем ещё одной итерации. Для этого составляется еще одна таблица (см. Таблица 4, Таблица 5).
Таблица 4 – Вторая симплексная таблица
Первые две строки остаются прежними.
Во всех остальных строках в столбцах P – X7 новое значение каждого элемента, кроме ключевой строки, преобразуется по следующей формуле:
Ключевая строка преобразуется делением всех элементов на ключевой элемент.
На каждой итерации один из столбцов единичной матрицы (первоначально столбцы X5-X7) перемещается на место ключевого столбца. Номер неизвестной из этого столбца переносится в столбец с номерами неизвестных на уровень ключевой строки. Рядом заносится соответствующий коэффициент при неизвестной. В трёх первых столбцах на каждом этапе отражается решение.
Целевая строка равняется преобразованной целевой строке. То же самое касается сумм по строкам.
Итоговый столбец не может быть отрицательным, в противном случае ключевая строка выбрана неверно.
Таблица 5 – Последняя симплексная таблица
8*4,6667+8*5,3333=80
Fmax=80 при X1=4,6667; X3=5,3333.
Функция от итерации к итерации возрастает или остается без изменений.
2.4 Решение математических задач симплексным методом с искусственным базисом
Алгоритм выполнения данной работы аналогичен предыдущей, но имеются некоторые особенности.
{ |
9Х1+3Х2+6Х3+4Х4>=3 3X1+2X2+4X3+3X4>=10 8X1+3X2+6X3+4X4>=12
|
Fmin=3X1+5X2+7X3+19X4
X1>=0, X2>=0, X3>=0, X4>=0
Помимо положительных вводятся также неизвестные с отрицательным знаком. В целевую функцию положительные неизвестные переписываются с коэффициентом М – неограниченно большое число.
9Х1+3Х2+6Х3+4Х4-X5-0X6-0X7+X8+0X9+0X10=3
3X1+2X2+4X3+3X4-0X5-X6-0X7+0X8+X9+0X10=10
8X1+3X2+6X3+4X4-0X5-0X6-X7+0X8+0X9+X10=12
Fmax=3X1+5X2+7X3+19X4-0X5-0X6-0X7+МX8+МX9+МX10
Далее составляется симплексная таблица (см. Таблица 6). При этом целевых строк две – в верхней записываются коэффициенты при М, а нижней – числа без М.
Таблица 6 – Первая симплексная таблица
Задача считается решенной, когда в целевых строках не остаётся положительных значений. В противном случае проводится ещё одна итерация (см. Таблица 7, Таблица 8, Таблица 9, Таблица 10, Таблица 11, Таблица 12). При этом важно учитывать разницу между коэффициентами при М и обычными числами, первые из них неограниченно больше вторых. Выбор ключевого столбца осуществляется по максимальному числу в целевых строках (прежде всего нужно учитывать значение первой из этих строк). В остальном порядок решения аналогичен предыдущей работе.
Таблица 7 – Вторая симплексная таблица
Таблица 8 – Третья симплексная таблица
Таблица 9 – Четвёртая симплексная таблица
Таблица 10 – Пятая симплексная таблица
Таблица 12 – Последняя симплексная таблица
3*3,3333=10
Fmin=10 при X1=3,3333.
Функция от итерации к итерации уменьшается или остается без изменений.