49.Математические понятия, суждения, умозаключения.

Понятие – то, что отображает в голове человека общие и отличительные свойства объектов и явлений. Математические понятия отражают пространственные формы и количественные отношения действительности, абстрагирование от реальных ситуаций. Каждое понятие объединяет в себе класс объектов, т.е. объем этого понятия и его содержание, т.е. характеристическое свойство, присущее всем объектам этого класса. Изучить понятие – усвоить его содержание о объем. Содержание понятия раскрывается через определение. Объем через классификацию. Формирование понятий по схеме: ощущение (не всегда) – восприятие – представление – понятие – определение. Составляющие понятия: чувственная (образование ощущений, восприятие и представление); логическая (переход к понятиям с помощью обобщения заключений).

Типы определений: 1. явное (прямое указание на существенные признаки определяемого понятия)

2. неявное (содержание определяемого может быть установлено через контекст). 3. дескрипция (определение путем указания свойств). 4. номинальное (вывод нового символа или выражения как сокращение для более сложных выражений из ранее введенных терминов. 5. реальное (фиксирует характеристическое свойство самих определяемых объектов). 6.контекстуальное (определение нового неизвестного термина, которое выясняется из смысла прочитанного, сводится к указанию содержащих его контекстов. 7. индуктивное (путем применения конкретных операция позволяет получать новые объекты). 8. аксиоматическое (определение через аксиомы). 9. определение через род и родовые отличия. (определяемое выделяется из предметов некоторой области, которое при этом явно упоминается в определении (род) путем указания характеристического свойства определяемого (видовое) отличие. 10. генетическое (указывается способ происхождения определения).

Определение корректно, если определяемое не содержится в определяющем и каждый термин встречается не более одного раза в качестве определяемого.

Суждение – форма связи понятий друг с другом. Суждение истинно, если оно правильно отображает объективно существенные зависимости между вещами. Иначе – ложно. Суждение – такая форма мышления, в которой отображается наличие или отсутствие самого объекта. Характерный признаки суждения: наличие истинности или ложности в выражающем его предложении. Виды суждений: аксиома (предложение, принимаемое без доказательства, независимое, непротиворечивое и полное); теорема (предложение, истинность которого доказывается). Суждения образуются 2 способами: непосредственно (с помощью суждения отражается результат восприятия) и опосредовано (суждение возникает в результате особой мыслительной деятельности – умозаключения).

Умозаключение – процесс получения нового суждения, вывод из единого или нескольких данных суждений. Значение умозаключения – расширяет границы знаний об объектах. Не всякое сочетание суждений представляет собой умозаключение.

50.Теоремы в школьном курсе математики.

65. История возникновения и развития математики основные понятия и категории

Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики: зарождение математики, элементарная математика, математика переменных величин, современная математика.

1. Зарождение математики (с древних времен до VII-V вв. до н. э. Вавилон, древний Египет).

Это был период накопления фактического материала, тесно связанного с потребностями хозяйственной жизни – развитием ремесла, земледелия, обмена и торговли, исчислением податей,

обеспечением войска продовольствием и оружием, измерением земельных участков и объемов сосудов и т. д. Накопленные эмпирические знания подвергались систематизации, что привело к выделению особого вида понятий и методов решения задач, явившихся зачатками будущей математической науки. В этот период формируются три основных понятия – число (пересчет

элементов конечных множеств (убитых на охоте зверей, сделанных горшков и т. д.), а также упорядочение этих элементов при вело к понятию натурального числа); величина (сравнение масс

различных предметов, объемов сосудов, длин, площадей и т. д. привели к понятию величины); геометрическая фигура (изучение формы изделий, зданий, земельных участков и т. д., само слово «геометрия» означает землемерие).  Были введены арифметические действия над натуральными числами, отражавшими операции над конечными множествами. Научились выражать измерения в виде дробей. Получили формулы для вычисления геометрических величин – длин, площадей, объемов. Были получены правила выполнения арифметических действий (таблицы квадратов, кубов, обратных величин и т. д.). Созданы некоторые общие методы решения арифметических задач. Ученые умели решать уравнения первой и второй степеней (а в некоторых случаях и более высших порядков), задачи на прогрессии.

Основной метод – «Делай, как делается», ссылка на авторитет предшественников. Основной задачей обучаемого было не понимание правил, а их запоминание.

2. Математика постоянных величин (или период элементарной математики, VII в. до н. э. по XVII в. н. э.).

 Основным достижением математической мысли этого периода было возникновение и развитие понятия о доказательстве (древняя Греция). Греческий ученый Фалес из Милета создал метод логического доказательства математических утверждений, он доказал некоторые простейшие геометрические утверждения (равенство углов при основании равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов и т. д.). Учеными Пифагорейской школы доказана теорема Пифагора, на основании которой было сделано открытие, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, что показало несостоятельность попытки свести всю математику к натуральным

числам. Это открытие привело к исследованию начальных вопросов теории чисел (четность и нечетность простых чисел, разложения чисел на множители, свойства взаимно простых чисел

и т. д.). Оказалось, что не все величины выражаются рациональными числами. Была предпринята попытка – обосновать всю математику на основе геометрических понятий (например, сложение величин, как сложение отрезков, умножение – как построение прямоугольника с заданными сторонами), которая также не увенчалась успехом.

Древнегреческие математики провели классификацию квадратных иррациональностей, открыли все виды правильных многогранников, ввели формулы для объема многих тел, исследовали разнообразные кривые линии (гиперболу, параболу, эллипс, спираль).

 Выдающуюся роль сыграла книга Евклида «Начала», это первая из дошедших до наших времен попыток аксиоматического изложения математической дисциплины.  Введенное понятие бесконечности, привело к формированию, с одной стороны, понятия о бесконечном ряде натуральных чисел, а с другой – понятия о безгранично делимых геометрических фигурах (отрезках, кругах и т. д.). Индийские математики (Ариабхатта и др.) ввели нуль и отрицательные числа, проводили исследования по комбинаторике. Арабские математики (Омар Хайям и др.) положили начало развитию тригонометрии, и новой области в математике – алгебре. Алгебру рассматривали как науку о решении уравнений, учение о формальных действиях и их свойствах.

 В XVI в. итальянские математики Кардано, Феррари и др. вывели формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней.  Работы итальянского ученого Бомбелли и французского

ученого Р. Декарта позволили ввести идею действительного числа. Р. Декарт положил начало аналитической геометрии, начав решать алгебраически геометрические задачи.

3. Математика переменных величин (с середины XVII в. до середины XIX в.).

 Французский ученый Р. Декарт ввел понятие переменной величины, что позволило перейти к математическому описанию движения и других изменяющихся процессов. Немецкий ученый Г.В. Лейбниц ввел общее понятие функции как зависимость одной переменной величины от другой.

Рассматривая вопросы геометрии и механики, английский физик и математик И. Ньютон, и почти одновременно с ним Г. В. Лейбниц, создали основы дифференциального и интегрального исчислений. Развивался аппарат математического анализа, ставший одной из основ решения задач механики, гидродинамики, астрономии и оптики. Математики научились решать уравнения с частными производными. Возникла и получила развитие теория вероятностей (Пьер Ферма, Р. Декарт, Паскаль и др.).

4. Современный период развития математики (с середины XIX в.)

 К середине XIX века сложились основные направления алгебры, геометрии, математического анализа, теории вероятностей, теории множеств.  Н.И. Лобачевский в 20-е годы 19-го века построил гиперболическую неевклидову геометрию, повлекшую за собой создание аксиоматического метода. Исследования Римана, показавшие неограниченное разнообразие геометрических пространств, привели к возникновению функционального анализа. Во второй половине 19-го века в математической анализе начинают применяться комплексные числа, что приводит к созданию теории функций комплексного переменного.  Критическому анализу были подвергнуты такие понятия математического анализа, как «предел функции», «непрерывность», «производная», «интеграл». Им были даны определения, отличающиеся большей строгостью и общностью.  В 1894 г. появилась книга Д. Гильберта «Основания геометрии». В этой книге аксиомы геометрии были разбиты на группы и был исследован вопрос о их независимости.

 В конце 19-го до середины 20-го веков получает развитие математическая логика.

Основными методами в математических исследованиях являются математические

доказательства – строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к

логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция. В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а

существующие между ними отношения. В математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция.

Индукция – метод исследования, в котором общий вывод строится не основе частных посылок.

Дедукция – способ рассуждения, посредством которого от общих посылок следует заключение частного характера.