21 Нормальное распределение. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.

Случайная непрерывная величина X имеет нормальное (гауссово) распределение, если ее плотность распределения вероятности имеет вид

 

где  — среднее квадратическое отклонение; а — математическое ожидание. 

  Если а=0 и  σ=1, то нормальное (гауссовое) распределение называется стандартным нормальным (гауссовым) распределением (таблица плотности вероятности нормальной случайной величины), плотность которого равна

   а функция распределения (функция Лапласа) (таблица функции Лапласа)

 

  Вероятность попадания в заданный интервал (α;β) нормально распределенной случайной величины с параметрами а, σ  вычисляется по формуле:

с использованием интеграла вероятности

20. P(α<x<β)=F(α)-F(β)=Ф(	β-a	)
    	σ

21. -Ф(	α-a	)
    	σ

Из этих соотношений легко получить вероятность отклонения распределения случайной величины X от своего математического ожидания а:

24. P(|X-a|<δ)=2Ф(	δ	)
    	σ

25. ,Где δ — величина отклонения.

  Полагая в этой формуле δ=3σ, получаем

  P(|X-a|<δ)=2Ф(3)=2*0.49865=0.9973

  Этот результат носит название «правило трех сигм». Таким образом, в 99,7% случаях все значения нормального распределения случайной величины сосредоточены в интервале (-3σ+a; 3σ+a). Распределение, заданное на бесконечном интервале, может быть рассмотрено на конечном интервале, и погрешность при такой замене равно ,примерно, 0,3%.

Из формулы (5.36) видно, что центром симметрии распределения является центр рассеивания т. Это ясно из того, что при изменении знака разности (х — т) на обратный результат в выражении (5.36) не меняется. Если изменять центр рассеивания т, кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы (рисунок 5.10).

Рисунок 5.9 – Кривая распределения нормального

закона

Рисунок 5.10 — Смещение кривой нормального распределения с изменением т

Размерность центра рассеивания — та же, что и размерность случайной величины Х.

Параметр σ (среднее квадратическое отклонение) характеризует не положение, а саму форму кривой распределения. С увеличением σ кривая растягивается и становится более плоской, с уменьшением σ она вытягивается вверх и сжимается. Это объясняется тем, что площадь под кривой распределения всегда остается равной единице, несмотря на изменение максимума плотности вероятности. На рисунке 5.11 показаны три нормальные кривые при различных σ.

Р исунок 5.11 – Изменение формы кривой распределения с изменением σ

Размерность параметра σ совпадает с размерностью СВ   Х. Во многих задачах практики приходится определять вероятность попадания СВ Х,подчиненной нормальному закону с произвольными параметрами m и σ на участок от α до β. Для вычисления этой вероятности используют общую формулу:

P (α < X < β) = F (β) – F (α),             (5.39)

где F (х) – функция распределения величины  Х.

С помощью математических преобразований получаем, что:

где  — интеграл вероятностей, который рассчитывается следующим образом:

Принято называть функцию  также нормальной (нормированной) функцией распре-деленияили стандартной функцией распределения.

Согласно формуле (5.39) выразим вероятность попадания СВ X на участок от α до β:

Таким образом, получили вероятность попадания на интересующий нас участок СВ X,распределенной по нормальному закону с любыми параметрами,  через стандартную функцию распределения  , которая соответствует простейшему нормальному законус параметрами т = 0 и σ = 1.

Заметим, что аргументы функции   в формуле (5.42) имеют очень простой смысл:   есть расстояние от правого конца участка до центра рассеивания, выраженное в средних квадратических отклонениях;  — такое же расстояние до левого конца участка α, причем это расстояние считается положительным, если конец расположен справа от центра рассеивания, и отрицательным, если слева.