13. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно. Причем вероятность появления некоторого события А в каждом испытании не изменяется. Например, подбрасывают монету 5 раз. В каждом испытании герб может появиться с одной и той же вероятностью 1/2; стрелок стреляет по мишени 10 раз, при каждом выстреле вероятность попадания одна и та же. Такие ситуации носят название схемы повторных испытаний . Итак, опишем модель схемы повторных испытаний: проводятся п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одинаковой вероятностью и является случайным. Интерес представляет вопрос о вероятности появления события А в т из п проведенных испытаниях.

Рассмотрим задачу: проводятся 5 независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появится с одинаковой вероятностью р. вычислить вероятность того, что событие А появится в трех из проведенных пяти испытаниях.

Обозначим А_i - появление события А в i-том испытании, тогда А_i -не появление события А в i-том испытании. Рассмотрим все возможные случаи появления события А в двух случаях из пяти:

Найдем вероятность для каждого исхода. Пользуясь теоремой умножения вероятностей для независимых событий. Заметим, что полученные вероятности будут равны, т.к. произведения отличаются только порядком множителей, тогда, применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получим выражение для вычисления вероятности события В- событие А появится в двух испытаниях из пяти проводимых:

Обозначим 1-р=q, тогда

Вероятность Р(В) обозначим _Р5(2) , т.е. вероятность появления события А в двух из пяти независимых испытаниях.

Обобщим результаты задачи и запишем формулу, позволяющую вычислить вероятность появления события А в т испытаниях из п проводимых:

Полученная формула называется формулой Бернулли.

Если необходимо вычислить вероятность появления события А в диапазоне от т₁ до т₂ , то применяется теорема сложения вероятностей для независимых событий.

14. Интегральная теорема Лапласа.

Вернемся к предыдущей задаче, но изменим вопрос. Пусть требуется вычислить вероятность того, что попаданий по мишени будет не менее 50 и не более 70.

Вычислить вероятность для каждого случая конечно можно. Используя рассмотренный метод, но диапазон довольно велик, поэтому на практике в подобных случаях для расчетов применяют формулу, позволяющую вычислить вероятность для любого диапазона (т₁, т₂). Эту формулу дает интегральная теорема Муавра- Лапласа.

Интегральная теорема Муавра- Лапласа: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Р_п(т₁, т₂) того, что событие А появится в п испытаниях от т₁ до т₂ раз. Приближенно равна определенному интегралу

  _где

Данный интеграл называется функцией Лапласа и обозначается Ф(х).

Ф(х)- нечетная функция, значения ее приведены в  "Таблице значений функции Ф(х)". При x>5 принимают Ф(х)=0,5.

Вернемся к задаче и вычислим требуемую вероятность: